Переходим к формулировке теоремы существования для системы дифференциальных уравнений типа (1) ${ }^{1}$. Функции $X_{i}$ мы будем считать вещественными и равномерно непрерывными в некоторой открытой, ограниченной $n$-мерной связной области $R$ «пространства» точек, определенных прямоугольными координатами $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right.$ ). Решением $x(t)$ уравнений (1) в открытом
интервале $t^{\prime}<t<t^{\prime \prime}$ называется такая система $n$ функций $x_{i}(t)$, непрерывных вместе со своими первыми производными, которая для всякого $t$ в указанном интервале определяет точку, принадлежащую $R$, и удовлетворяет дифференциальным уравнениям (1).

Теорема существования.
Если точка $x^{0}$ лежит в $R$ на расстоянии не менее $D$ от границы $R$ и $M$ есть верхняя граница функций $\left|X_{i}\right|$ в $R$, то существует решение $x(t)$ уравнений (1), определенное в интервале
\[
\left|t-t_{0}\right|<\frac{D}{\sqrt{n} M}
\]

и обращающееся в $x^{0}$ при $t=t_{0}$.
Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что любое решение уравнений (1), для которого $x\left(t_{0}\right)=x^{0}$, удовлетворяет $n$ уравнениям:
\[
S_{i} \equiv x_{i}-x_{i}^{0}-\int_{t_{0}}^{t} X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d t=0 .
\]

Обратно, всякая система непрерывных функций $x(t)$ в $R$ обращается в $x^{0}$ при $t=t_{0}$, а также удовлетворяет уравнениям (1), если все $S_{i}$ обращаются тождественно в нуль в интервале, содержащем $t=t_{0}$ в качестве внутренней точки. Это можно проверить непосредственным дифференцированием.

Определим теперь систему бесконечно многозначных функций $X_{i}^{m}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, где значениями $X_{i}^{m}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ служит любая система $X_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ в точке $y$, координаты которой отличаются от соответственных координат точки $x$ не более, чем на $\frac{1}{m}$. Очевидно, что при этом определении мы можем в любой прямоугольной области, определяемой неравенствами
\[
\left|x_{i}-a_{i}\right| \leqslant \frac{1}{m} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

принять за значения $n$ составляющих $X^{m}$ (т. е. $X_{1}^{m}, X_{2}^{m}, \ldots, X_{n}^{m}$ ) постоянные числа, а именно: составляющие $X\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$.

Если в выражении для $S_{i}$ заменим $X_{i}$ на $X_{i}^{m}$ и $x_{i}$ на $x_{i}^{m}$, то получим выражение
\[
S_{i}^{m} \equiv x_{i}^{m}-x_{i}^{0}-\int_{t_{0}}^{t} X_{i}^{m}\left(x_{1}^{m}, \ldots, x_{n}^{m}\right) d t .
\]

Покажем, что при надлежащем выборе $x_{i}^{m}$ и $X_{i}^{m}$ эти выражения $S_{i}^{m}$ обращаются тождественно в нуль.

Примем $X^{m}$ равным $X\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ в области, определяемой неравенствами
\[
\left|x_{i}-x_{i}^{0}\right|<\frac{1}{m} \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Тогда интегралы в написанных выше выражениях для $S_{i}^{m}$ будут линейными функциями $t$ и, следовательно, $x_{i}^{m}$ могут быть выражены формулами
\[
x_{i}^{0}+X_{i}\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)\left(t-t_{0}\right),
\]

пока точка $x^{m}$ не выходит из этой области. С точки зрения геометрии можно сказать, что выражения для $x_{i}^{m}(t)$ дают параметрическое уравнение прямой, проходящей при $t=t_{0}$ через центр области. В частном случае, когда все функции $X_{i}^{m}$ обращаются в нуль, прямая вырождается в точку $x^{0}$.

В случае, если прямая выходит за пределы области при $t=t_{1}>t_{0}$ в точке $y^{0}$, мы можем принять эту точку за центр новой аналогичной области тех же размеров и в этой новой области определить $x_{i}^{m}$ формулой
\[
y_{i}^{0}+X_{i}\left(y_{i}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}\right)\left(t-t_{1}\right) .
\]

Выражения $S_{i}^{m}$ будут тогда обращаться в нуль и при $t>t_{1}$, пока точка $x^{m}$ не покинет эту вторую область в точке $z^{0}$ и т.д.

Таким образом, повторяя этот процесс, мы определяем $x_{i}^{m}$ и $X_{i}^{m}$, обращающие $S_{i}^{m}$ в нуль для $t>t_{0}$, и подобным же образом для $t<t_{0}$. Процесс может остановиться только в том случае, если ломаная линия, представляющая $x^{m}(t)$, пересечет границу $R$.

Но если мы будем считать $t$ за время, а $x_{i}^{m}$ за координаты точки $x^{m}$, то скорость ее, равная
\[
\left[\left(X_{1}^{m}\right)^{2}+\ldots+\left(X_{n}^{m}\right)^{2}\right]^{1 / 2},
\]

очевидно, меньше $\sqrt{n} M$. Следовательно, точка $x^{m}$ должна оставаться внутри $R$ по крайней мере в интервале времени
\[
\left|t-t_{0}\right|<\frac{D}{\sqrt{n} M} .
\]

Таким образом, все функции $x_{i}^{m}$ для всех значений $i$ и $m$ определены в этом интервале.

Придавая $m$ значения $1,2,3, \ldots$, получим бесконечную последовательность систем функций $x_{i}^{m}(t)$, определенных в этом интервале. Все

эти системы лежат в $R$ и, таким образом, ограничены в совокупности. Далее, из того, что $S_{i}^{m}=0$ для всех $i$ и $m$, следует неравенство:
\[
\left|x_{i}^{m}(t+h)-x_{i}^{m}(t)\right|=\left|\int_{t}^{t+h} X_{i}^{m}\left(x_{1}^{m}, \ldots, x_{n}^{m}\right) d t\right| \leqslant M h .
\]

Применив теперь к функциям $x_{i}^{m}$ теорему, являющуюся частным случаем теоремы Асколи ${ }^{1}\left({ }^{1}\right)$, найдем, что существует бесконечная последовательность $m_{1}, m_{2}, \ldots$ значений $m$, такая, что для каждого $i, x_{i}^{m_{k}}$ равномерно стремится к некоторой непрерывной функции $\bar{x}_{i}$.

Легко доказать, что полученные таким образом функции $\bar{x}_{i}$ удовлетворяют интегральной форме (2) наших дифференциальных уравнений. Действительно, так как $S_{i}^{m}$ равны нулю при всех $i$ и $m$, имеем
\[
\begin{array}{c}
\bar{S}_{i}=\bar{S}_{i}-S_{i}^{m_{k}}=\left(\bar{x}_{i}-x_{i}^{m_{k}}\right)- \\
-\int_{t_{0}}^{t}\left[X_{i}\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right)-X_{i}^{m_{k}}\left(x_{1}^{m_{k}}, \ldots, x_{n}^{m_{k}}\right)\right] d t .
\end{array}
\]

При безграничном возрастании $k$ первое слагаемое правой части равномерно стремится $\kappa$ нулю, так как $x_{i}^{m_{k}}$ равномерно стремится к $x_{i}$. Точно так же $X_{i}^{m_{k}}\left(x_{1}^{m_{k}}, \ldots, x_{n}^{m_{k}}\right)$ равномерно стремится к $X_{i}\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right)$; в самом деле, при $k$ достаточно большом $X_{i}\left(x_{1}^{m_{k}}, \ldots, x_{n}^{m_{k}}\right)$ будет отличаться от $X_{i}\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right)$ на сколь угодно малую величину, так как функции $X_{i}$ по предположению равномерно непрерывны; $X_{i}\left(x_{1}^{m_{k}}, \ldots, x_{n}^{m_{k}}\right)$ в свою очередь будет сколь угодно мало отличаться от $X_{i}^{m_{k}}\left(x_{1}^{m_{k}}, \ldots, x_{n}^{m_{k}}\right)$ по определению функций $X_{i}^{m}$. Следовательно, подынтегральное выражение и вся правая часть формулы будут равномерно стремиться к нулю при возрастании $k$, откуда следует, что выражения $\bar{S}_{i}$, не зависящие от $m$, тождественно равны нулю, и, таким образом, $\bar{x}(t)$ дает требуемое решение уравнений (1).

Применяя повторно теорему существования, мы можем данное решение $x(t)$ уравнений (1) продолжить за пределы первоначального интервала его определения, если только при приближении $t$ к одному из концов этого интервала $x(t)$ не приближается к границе $R$. Отсюда следует справедливость утверждения:

Любое решение $x(t)$ уравнений (1) может быть распространено на интервал, имеющий один из четырех видов:
\[
\begin{aligned}
-\infty & <t<+\infty ; \\
-\infty & <t<t^{\prime \prime} ; \\
t^{\prime} & <t<+\infty ; \\
t^{\prime} & <t<t^{\prime \prime},
\end{aligned}
\]

где при приближении $t$ к $t^{\prime}$ или $t^{\prime \prime}$ точка $x(t)$ приближается к граниuе $R\left(^{2}\right)$.