Перейдем теперь к формулировке другой важной формы вариационного принципа, которая приведет нас к так называемому гамильтонову или каноническому виду уравнений динамики.

Напишем уравнение
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m} p_{j} q_{j}^{\prime}-\sum_{j=1}^{m} p_{j} r_{j}+L\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, r_{1}, \ldots, r_{m}\right)\right] d t=0,
\]

в котором $r_{i}$ суть функции от $p_{1}, \ldots, p_{m}, q_{1}, \ldots, q_{m}$, определенные посредством $m$ уравнений
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial r_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),\left({ }^{7}\right)
\]

в то время как $p_{1}, \ldots, p_{m}, q_{1}, \ldots, q_{m}$ варьируются независимо друг от друга. Это уравнение, как мы знаем, равносильно системе $2 m$ дифференциальных уравнений, из которых первые $m$, получаемые варьированием $p_{1}, \ldots, p_{m}$, суть
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial F}{\partial p_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \equiv-q_{i}^{\prime}+r_{i}+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} \frac{\partial r_{j}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial L}{\partial r_{j}} \frac{\partial r_{j}}{\partial p_{i}}\right) \equiv-q_{i}^{\prime}+r_{i}=0,
\]

где подынтегральное выражение обозначено для краткости через $F$. Остальные $m$ уравнений могут быть получены таким же образом и имеют вид:
\[
p_{i}^{\prime}+\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=0,
\]

где буквой $H$ обозначено выражение
\[
\sum_{j=1}^{m} p_{j} r_{j}-L
\]

Необходимо отметить, что получающиеся таким образом $2 m$ дифференциальных уравнений все являются уравнениями парного порядка, так что общий интеграл их содержит $2 m$ произвольных постоянных.

Из первых $m$ уравнений следует, что функции $p_{i}^{0}, q_{i}^{0}$, для которых интеграл стационарен, обладают тем свойством, что $r_{i}^{0}=\left(q_{i}^{0}\right)^{\prime}$. Будем считать теперь, что $r_{i}=q_{i}^{\prime}$, так что наш интеграл обращается в интеграл Лагранжа
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} L\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}\right) d t
\]

Вариации $q_{1}, \ldots, q_{m}$ продолжают оставаться произвольными, но вариации $p_{1}, \ldots, p_{m}$ определены формулой $p_{i}=\partial L / \partial q_{i}^{\prime}$. При этом, если вариации $q_{1}, \ldots, q_{m}$ обращаются в ноль тождественно в окрестности точек $t_{0}$ и $t_{1}$, то и вариации $p_{i}$ обращаются в ноль в тех же окрестностях, так как
\[
\delta p_{i}=\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{j} \partial q_{i}^{\prime}} \delta q_{j}+\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{j}^{\prime} \partial q_{i}^{\prime}} \delta q_{j}^{\prime} .
\]

Отсюда
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t=0
\]

вдоль кривой $q_{i}=q_{i}^{0}(t)$. Следовательно, $q_{i}^{0}$ удовлетворяет уравнениям Лагранжа, связанным с этим интегралом, а $p_{i}^{0}$ определяется из уравнений $r_{i}^{0}=q_{i}^{0}$.

Таким образом каждое решение предложенной вариационной задачи приводит к некоторому решению уравнений Лагранжа. Обратное высказывание также справедливо $\left({ }^{8}\right)$, потому что выбор $p_{i}, q_{i}$ в любой момент $t$ произволен и приводит к произвольной системе значений $q_{i}, q_{i}^{\prime}$.

Если главная функция лагранжевой системь есть $L\left(q_{1}, \ldots, q_{m}\right.$, $\left.q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}\right)$ и если мы образуем функцию от $p_{1}, \ldots, p_{m}, q_{1}, \ldots, q_{m}$, определенную формулой
\[
H=-L+\sum_{j=1}^{m} p_{j} q_{j}^{\prime}
\]

где переменные $q_{i}^{\prime}$ исключаем при помощи уравнений
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

то первоначальные уравнения $\delta \int L d t=0$ могут быть заменены эквивалентной системой уравнений относительно $p_{i}, q_{i}$, а именно:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m} p_{j} q_{j}^{\prime}-H\right] d t=0,
\]

или иначе
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Уравнения (6) называются уравнениями Гамильтона, а переменные $p_{i}$ – «обобщенными моментами». Пара переменных $p_{i}, q_{i}$ есть пара «сопряженных» переменных. Кроме того следует отметить, что гамильтонова «главная функция» $H$ – не что иное, как полная энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и моменты. Из канонических уравнений (6) сразу же следует интеграл энергии $H=$ const.

Легко видеть также, что вышеприведенный вариационный принцип приводит к тем же уравнениям и в том случае, когда функции $L$ и $H$ содержат время $t$.

Обратно, всякую систему Гамильтона (5), (6), где $\mathrm{H}$ – произвольная функция, можно привести к системе Лагранжа.

Для доказательства этого утверждения нам достаточно определить $L$ посредством формулы
\[
L\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, r_{1}, \ldots, r_{m}\right)=-H+\sum_{j=1}^{m} p_{j} r_{j},
\]

где $p_{1}, \ldots, p_{m}$ суть функции от $q_{i}$ и $r_{i}$, определяемые в неявном виде из уравнений
\[
r_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \quad(i=1, \ldots, m)\left({ }^{9}\right) .
\]

Очевидно, лагранжева система, имеющая эту функцию $L$ в качестве главной функции, будет связана требуемым образом с данной функцией $H$.

Если $H$ содержит $t$, то $L$ будет, разумеется, тоже содержать $t$, и те же рассуждения останутся в силе.