1) Оно аффинно с точностью до бесконечно малых второго порядка относительно $p$ и $q$. В самом деле, имеем:
\[
\begin{array}{c}
p_{1}=a p+b q+F(p, q), \\
q_{1}=c p+d q+G(p, q),
\end{array}
\]

где $a, b, c, d$ – постоянные, такие, что $a d-b c=1 ; F$ и $G$ – сходящиеся степенные ряды в $p$ и $q$, не содержащие членов порядка ниже второго.
2) Имеется в виду линейное преобразование
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{p}_{1}=a p+b q \\
\bar{q}_{1}=c p+d q
\end{array}\right\}
\]
(см. предыдущее примечание). Может быть определено зависящее от параметра $r$ линейное преобразование
\[
\left.\begin{array}{c}
p_{r}^{*}=f(r) p+g(r) q, \\
q_{r}^{*}=h(r) p+k(r) q
\end{array}\right\} \quad(0 \leqslant r \leqslant 2 \pi),
\]

такое, что $f, g, h, k$ суть аналитические функции, что
\[
f(r) k(r)-g(r) h(r)=1 \quad(0 \leqslant r \leqslant 2 \pi)
\]

и что
\[
\left\|\begin{array}{ll}
f(0) & g(0) \\
h(0) & k(0)
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right\|, \quad\left\|\begin{array}{ll}
f(2 \pi) & g(2 \pi) \\
h(2 \pi) & k(2 \pi)
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right\| .
\]

В силу последних равенств преобразование (2) совпадает с тождественным преобразованием при $r=0$ и с преобразованием (1) при $r=2 \pi$.
В этом смысле и следует понимать, что последнее преобразование может быть получено посредством одно-однозначной аналитической деформации.
3) Это «наложение» следует понимать просто в смысле алгебраического сложения. Так как
\[
p_{1}-\bar{p}_{1}=F(p, q), \quad q_{1}-\bar{q}_{1}=G(p, q)
\]
(см. предыдущие примечания), то в результате получается преобразование
\[
\begin{aligned}
\widehat{p}_{r} & =f(r) p+g(r) q+\frac{r}{2 \pi} F(p, q), \\
\widehat{q}_{r} & =h(r) p+k(r) q+\frac{r}{2 \pi} G(p, q) \quad(0 \leqslant r \leqslant 2 \pi) .
\end{aligned}
\]
4) См. B. de Kerekjarto, The Plane Translation Theorem of Brouwer and the Last Geometric Theorem of Poincaré, Szeged Acta, т. 4, кн. 2 (1928), стр. 86-102.