Мы видели уже, что пфаффовы и гамильтоновы системы уравнений обладают свойством полной устойчивости в случае, если характеристические числа их будут чисто мнимыми. Естественно возникает очень интересный вопрос об отыскании условий полной устойчивости системы в наиболее общем случае и о характеристике движений вблизи точки обобщенного равновесия, обладающего такой полной устойчивостью. Мы ответим на эти вопросы, приведя уравнения вполне устойчивого типа к некоторому определенному «нормальному» виду. Так как ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m-$ чисто мнимые количества, различные между собою, то мы можем произвести такое линейное преобразование переменных $x_1,\dots ,x_{2m}$, что система уравнений в новых переменных $p_1,q_1,\dots ,p_m,q_m$ будет иметь вид
$$\frac{d{p}_i}{dt}=-{\lambda }_i{p}_i+P_i,\frac{d{q}_i}{dt}={\lambda }_i{q}_i+Q_i(i=1,\dots ,m),$$

где $p_i$ и $q_i$ — сопряженные комплексные переменные, а $P_i,Q_i$ — ряды, начинающиеся с членов не ниже второй степени $\left({}^{14}\right)$.
Произведем теперь вторую замену переменных
$$p_i={\overline{p}}_i+{\overline{\phi }}_{i2},q_i={\overline{q}}_i+{\overline{\psi }}_{i2}(i=1,\dots ,m);$$

здесь ${\overline{\phi }}_{i2}$ и ${\overline{\psi }}_{i2}$ — однородные квадратичные полиномы относительно ${\overline{p}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m$, коэффициенты которых суть аналитические периодические функции от $t$. Легко видеть, что дифференциальные уравнения сохранят свой вид с новыми $P_i,Q_i$, которые будут иметь однородные квадратичные слагаемые вида
$$\begin{array}{c}{P}_{i2}+\sum _{j=1}^m(p_j\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial p_j}-q_j\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial q_j}){\lambda }_j-{\lambda }_i{\phi }_{i2}-\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial t}\\ Q_{i2}+\sum _{j=1}^m(p_j\frac{\partial {\psi }_{i2}}{\partial p_j}-q_j\frac{\partial {\psi }_{i2}}{\partial q_j}){\lambda }_j+{\lambda }_i{\psi }_{i2}-\frac{\partial {\psi }_{i2}}{\partial t}\end{array}$$

соответственно. Рассматривая эти выражения, мы легко убеждаемся, принимая во внимание несоизмеримость множителей ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$, что эти новые $P_{i2}$ и $Q_{i2}$ можно обратить в нуль надлежащим выбором ${\phi }_{i2}$ и ${\psi }_{i2}$ одним и только одним способом. В самом деле, пусть
$$P(t)p_1^{{\alpha }_1}\dots p_m^{{\alpha }_m}{q}_1^{{\beta }_1}\dots q_m^{{\beta }_m}({\alpha }_1+\cdots +{\beta }_m=2)$$

будет какой-нибудь член $P_{i2}$ и пусть коэффициентом подобного члена ${\phi }_{i2}$ будет $\phi (t)$. Из написанного выше выражения для нового $P_{i2}$ будет тогда следовать дифференциальное уравнение для $\phi (t)$ :
$$P(t)+[\sum _{j=1}^m({\alpha }_j-{\beta }_j){\lambda }_j-{\lambda }_i]\phi -\frac{d\phi }{dt}=0,$$

которое может быть удовлетворено периодической функцией с периодом $\tau$, если только коэффициент при $\phi$ не будет кратным $2\pi \sqrt{-1}/\tau$, что невозможно на основании нашего предположения о несоизмеримости. Такое периодическое решение будет, кроме того, единственным (см. главу III, $\mathrm{\S }9$ ).

Таким образом, мы можем обратить в нуль все члены второй степени в $P_i,Q_i\left({}^{15}\right)$.

Совершенно подобным же способом мы можем посредством преобразования вида
$$p_i={\overline{p}}_i+{\overline{\phi }}_{i3},q_i={\overline{q}}_i+{\overline{\psi }}_{i3}(i=1,\dots ,m)$$

обратить в нуль все члены третьей степени в $P_i,Q_i$, за исключением тех, для которых выражения
$$\sum _{j=1}^m({\alpha }_j-{\beta }_j){\lambda }_j-{\lambda }_i,\sum _{j=1}^m({\alpha }_j-{\beta }_j){\lambda }_j+{\lambda }_i,({\alpha }_1+\cdots +{\beta }_m=3)$$

обращаются в нуль. Эти исключительные члены имеют вид:
$$P(t)p_i{p}_j{q}_j,Q(t)q_i{p}_j{q}_j(j=1,\dots ,m).$$

Но даже и для этих членов функции $\phi$ и $\psi$ могут быть выбраны таким образом, чтобы новые коэффициенты, а именно:
$$P(t)-\frac{d\phi }{dt},Q(t)-\frac{d\psi }{dt}$$

были постоянными числами (см. главу III, §9). Следовательно, возможно привести $P_i,Q_i$ к следующему нормальному виду:
$$\begin{array}{rl}{P}_i& =p_i(c_{i1}{p}_1{q}_1+\cdots +c_{im}{p}_m{q}_m)+\dots ,\\ Q_i& =q_i(d_{i1}{p}_1{q}_1+\cdots +d_{im}{p}_m{q}_m)+\dots ,\end{array}$$

где мы выписали в правых частях члены третьей степени $P_{i3}$ и $Q_{i3}\left({}^{16}\right)$.
Следующим нашим шагом необходимо показать, что в случае полной устойчивости выражения $P_{i3}$ и $Q_{i3}$ должны удовлетворять дополнительным соотношениям
$$q_i{P}_{i3}+p_i{Q}_{i3}=0(i=1,\dots ,m),$$
т. е. $c_{ij}+d_{ij}=0(i,j=1,\dots ,m)$. Для того, чтобы доказать это утверждение, мы воспользуемся следующей, почти очевидной, леммой.

Лемма о тригонометрических суммах. Пусть нам дана последовательность тригонометрических сум.м вида
$$\sum _{j=1}^N(A_j\cos l_{j}t+B_j\sin l_{j}t)(|l_i-l_j|>l>0),$$

где $N,l$ суть постоянные количества, а $A_i,B_i,l_i$ изменяются, причем, однако, во всех суммах $l_0=0$. Если эта последовательность стремится к пределу $\phi (t)$ равномерно в некотором интервале, то $\phi (t)$ само является в этом интервале тригонометрической суммой порядка не выше $N$.

Доказательство этой простой леммы мы отложим до следующего параграфа.

Рассмотрим квадратичные полиномы $p_i{q}_i$. Из данных дифференциальных уравнений находим:
$$\frac{d\left(p_i{q}_i\right)}{dt}=q_i{P}_{i3}+p_i{Q}_{i3}+\cdots (i=1,\dots ,m),$$

где ненаписанные члены будут не ниже пятой степени, а члены написанные имеют вид
$$p_i{q}_i[(c_{i1}+d_{i1})p_1{q}_1+\cdots +(c_{im}+d_{im})p_m{q}_m](i=1,\dots ,m).$$

Мы покажем, что это выражение тождественно равно нулю.
В самом деле, из только что приведенных дифференциальных уравнений следуют тотчас же неравенства
$$\left|\frac{d{\pi }_i}{dt}\right|⩽K{({\pi }_i+\cdots +{\pi }_m)}^2({\pi }_i=p_i{q}_i)$$

для $i=1,\dots ,m$, где ${\pi }_1,\dots ,{\pi }_m$, разумеется, суть неотрицательные количества $\left({}^{17}\right)$. Эти последние неравенства дают
$$\left|\frac{du}{dt}\right|⩽mK{u}^2(u=\sum _{j=1}^m{\pi }_j),$$

откуда
$$|u-u_0|⩽4mK{u}_0^2|t-t_0|⩽4mKT{u}_0^2$$

для любого данного промежутка времени $|t-t_0|⩽T$, при условии, что $u_0$ достаточно мало. Это неравенство можно получить, применяя методы, указанные в $\mathrm{\S }2$. Следовательно, $u-u_0$ второго порядка относительно $u_0$ во всем этом интервале, и в то же время неравенства для $d{\pi }_i/dt$ показывают, что ${\pi }_i-{\pi }_i^0$ тоже второго порядка. Таким образом выражение
$$q_i{P}_{i3}+p_i{Q}_{i3},$$

являющееся однородным квадратичным полиномом относительно ${\pi }_i,\dots ,{\pi }_m$, отличается от своего значения в точке $t=t_0$ на величину третьего порядка относительно $u_0$, и приведенные выше дифференциальные уравнения дают:
$$|\frac{d{\pi }_i}{dt}-(q_i^0{P}_{i3}^0+p_i{Q}_{i3}^0)|⩽L{u}_0^{5/2}(i=1,\dots ,m).$$

Интегрируя, получаем:
$$|{\pi }_i-{\pi }_i^0-(q_i^0{P}_{i3}^0+p_i^0{Q}_{i3}^0)(t-t_0)|⩽LT{u}_0^{5/2}(i=1,\dots ,m)$$

в рассматриваемом интервале.
Пусть, далее, мы имеем:
$$p_i^0={\alpha }_i\epsilon ,q_i^0={\beta }_i\epsilon (i=1,\dots ,m),$$

где ${\alpha }_1,{\beta }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\beta }_m$ представляют собою $m$ произвольных пар сопряженных комплексных чисел, и предположим, что $\epsilon$ стремится к нулю. Последнее написанное неравенство, в котором $u_0$ нужно рассматривать как постоянное кратное ${\epsilon }^2$, показывает, что
$$\underset{\epsilon =0}{lim}\frac{({\pi }_i-{\pi }_i^0)}{{\epsilon }^4}={\alpha }_i{\beta }_i[(c_{i1}+d_{i1}){\alpha }_1{\beta }_1+\cdots +(c_{im}+d_{im}){\alpha }_m{\beta }_m](t-t_0),$$

причем мы имеем равномерное приближение к пределу в рассматриваемом интервале. С другой стороны, мы можем в этом интервале изобразить ${\pi }_i$ тригонометрической суммой вышеуказанного типа с точностью до величины порядка ${\epsilon }^5$, и, следовательно, $({\pi }_i-{\pi }_i^0)/{\epsilon }^4$ может быть изображено такой суммой с точностью до величины порядка $\epsilon$. Таким образом левая часть написанного равенства есть предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических сумм, удовлетворяющих условию леммы, и, следовательно, она тоже должна быть тригонометрической суммой. Но это может иметь место только в том случае, если суммы $c_{ij}+d_{ij}$ обращаются в нуль при всех значениях $i$ и $j$, что и требовалось доказать.

Таким образом, выписывая члены до третьей степени включительно относительно $p_i,q_i$, мы имеем:
$$\begin{array}{l}\frac{d{p}_i}{dt}=-p_i[{\lambda }_i-\sum _{j=1}^m{c}_{ij}{p}_j{q}_j]+\cdots ,\\ \frac{d{q}_i}{dt}=q_i[{\lambda }_i-\sum _{j=1}^m{c}_{ij}{p}_j{q}_j]+\cdots \left({}^{18}\right).\end{array}$$

Таким путем мы можем последовательно удалять из $P_i,Q_i$ члены все высшей и высшей степени, за исключением членов, являющихся произведениями соответственно $p_i$ или $q_i$ на полиномы относительно $m$ произведений $p_j{q}_j$. Коэффициенты в $P_i,Q_i$ при этих остающихся членах будут постоянные числа, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку.

Всякая вполне устойчивал система уравнений (1) может быть формально приведена к нормальному виду
$$\begin{array}{rl}\frac{d{\xi }_i}{dt}& =-M_i{\xi }_i\\ \frac{d{\eta }_i}{dt}& =M_i{\eta }_i\end{array}\}(i=1,\dots ,m)$$

где $M_1,\dots ,M_m$ являются чисто мнимыми степенными рядами $\left({}^{19}\right)$ относительно т переменных ${\xi }_i,{\eta }_i$, m. е.
$$M_i={\lambda }_i-\sum _{j=1}^m{c}_{ij}{\xi }_j{\eta }_j+\cdots (i=1,\dots ,m),$$

и ${\xi }_i,{\eta }_i$ суть сопряженные комплексные переменные.
Обратно, если какая-нибудь система уравнений может быть приведена к такому нормальному виду, то из рассуждений $\mathrm{\S }2$ следует, что такая система вполне устойчива.