Мы видели уже, что пфаффовы и гамильтоновы системы уравнений обладают свойством полной устойчивости в случае, если характеристические числа их будут чисто мнимыми. Естественно возникает очень интересный вопрос об отыскании условий полной устойчивости системы в наиболее общем случае и о характеристике движений вблизи точки обобщенного равновесия, обладающего такой полной устойчивостью. Мы ответим на эти вопросы, приведя уравнения вполне устойчивого типа к некоторому определенному «нормальному» виду. Так как $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}-$ чисто мнимые количества, различные между собою, то мы можем произвести такое линейное преобразование переменных $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, что система уравнений в новых переменных $p_{1}, q_{1}, \ldots, p_{m}, q_{m}$ будет иметь вид
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\lambda_{i} p_{i}+P_{i}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\lambda_{i} q_{i}+Q_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $p_{i}$ и $q_{i}$ – сопряженные комплексные переменные, а $P_{i}, Q_{i}$ – ряды, начинающиеся с членов не ниже второй степени $\left({ }^{14}\right)$.
Произведем теперь вторую замену переменных
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\bar{\varphi}_{i 2}, \quad q_{i}=\bar{q}_{i}+\bar{\psi}_{i 2} \quad(i=1, \ldots, m) ;
\]

здесь $\bar{\varphi}_{i 2}$ и $\bar{\psi}_{i 2}$ – однородные квадратичные полиномы относительно $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$, коэффициенты которых суть аналитические периодические функции от $t$. Легко видеть, что дифференциальные уравнения сохранят свой вид с новыми $P_{i}, Q_{i}$, которые будут иметь однородные квадратичные слагаемые вида
\[
\begin{array}{c}
P_{i 2}+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial p_{j}}-q_{j} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial q_{j}}\right) \lambda_{j}-\lambda_{i} \varphi_{i 2}-\frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial t} \\
Q_{i 2}+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} \frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial p_{j}}-q_{j} \frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial q_{j}}\right) \lambda_{j}+\lambda_{i} \psi_{i 2}-\frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial t}
\end{array}
\]

соответственно. Рассматривая эти выражения, мы легко убеждаемся, принимая во внимание несоизмеримость множителей $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$, что эти новые $P_{i 2}$ и $Q_{i 2}$ можно обратить в нуль надлежащим выбором $\varphi_{i 2}$ и $\psi_{i 2}$ одним и только одним способом. В самом деле, пусть
\[
P(t) p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{m}^{\alpha_{m}} q_{1}^{\beta_{1}} \ldots q_{m}^{\beta_{m}} \quad\left(\alpha_{1}+\cdots+\beta_{m}=2\right)
\]

будет какой-нибудь член $P_{i 2}$ и пусть коэффициентом подобного члена $\varphi_{i 2}$ будет $\varphi(t)$. Из написанного выше выражения для нового $P_{i 2}$ будет тогда следовать дифференциальное уравнение для $\varphi(t)$ :
\[
P(t)+\left[\sum_{j=1}^{m}\left(\alpha_{j}-\beta_{j}\right) \lambda_{j}-\lambda_{i}\right] \varphi-\frac{d \varphi}{d t}=0,
\]

которое может быть удовлетворено периодической функцией с периодом $\tau$, если только коэффициент при $\varphi$ не будет кратным $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$, что невозможно на основании нашего предположения о несоизмеримости. Такое периодическое решение будет, кроме того, единственным (см. главу III, $\S 9$ ).

Таким образом, мы можем обратить в нуль все члены второй степени в $P_{i}, Q_{i}\left({ }^{15}\right)$.

Совершенно подобным же способом мы можем посредством преобразования вида
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\bar{\varphi}_{i 3}, \quad q_{i}=\bar{q}_{i}+\bar{\psi}_{i 3} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

обратить в нуль все члены третьей степени в $P_{i}, Q_{i}$, за исключением тех, для которых выражения
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(\alpha_{j}-\beta_{j}\right) \lambda_{j}-\lambda_{i}, \quad \sum_{j=1}^{m}\left(\alpha_{j}-\beta_{j}\right) \lambda_{j}+\lambda_{i}, \quad\left(\alpha_{1}+\cdots+\beta_{m}=3\right)
\]

обращаются в нуль. Эти исключительные члены имеют вид:
\[
P(t) p_{i} p_{j} q_{j}, \quad Q(t) q_{i} p_{j} q_{j} \quad(j=1, \ldots, m) .
\]

Но даже и для этих членов функции $\varphi$ и $\psi$ могут быть выбраны таким образом, чтобы новые коэффициенты, а именно:
\[
P(t)-\frac{d \varphi}{d t}, \quad Q(t)-\frac{d \psi}{d t}
\]

были постоянными числами (см. главу III, §9). Следовательно, возможно привести $P_{i}, Q_{i}$ к следующему нормальному виду:
\[
\begin{aligned}
P_{i} & =p_{i}\left(c_{i 1} p_{1} q_{1}+\cdots+c_{i m} p_{m} q_{m}\right)+\ldots, \\
Q_{i} & =q_{i}\left(d_{i 1} p_{1} q_{1}+\cdots+d_{i m} p_{m} q_{m}\right)+\ldots,
\end{aligned}
\]

где мы выписали в правых частях члены третьей степени $P_{i 3}$ и $Q_{i 3}\left({ }^{16}\right)$.
Следующим нашим шагом необходимо показать, что в случае полной устойчивости выражения $P_{i 3}$ и $Q_{i 3}$ должны удовлетворять дополнительным соотношениям
\[
q_{i} P_{i 3}+p_{i} Q_{i 3}=0 \quad(i=1, \ldots, m),
\]
т. е. $c_{i j}+d_{i j}=0(i, j=1, \ldots, m)$. Для того, чтобы доказать это утверждение, мы воспользуемся следующей, почти очевидной, леммой.

Лемма о тригонометрических суммах. Пусть нам дана последовательность тригонометрических сум.м вида
\[
\sum_{j=1}^{N}\left(A_{j} \cos l_{j} t+B_{j} \sin l_{j} t\right) \quad\left(\left|l_{i}-l_{j}\right|>l>0\right),
\]

где $N, l$ суть постоянные количества, а $A_{i}, B_{i}, l_{i}$ изменяются, причем, однако, во всех суммах $l_{0}=0$. Если эта последовательность стремится к пределу $\varphi(t)$ равномерно в некотором интервале, то $\varphi(t)$ само является в этом интервале тригонометрической суммой порядка не выше $N$.

Доказательство этой простой леммы мы отложим до следующего параграфа.

Рассмотрим квадратичные полиномы $p_{i} q_{i}$. Из данных дифференциальных уравнений находим:
\[
\frac{d\left(p_{i} q_{i}\right)}{d t}=q_{i} P_{i 3}+p_{i} Q_{i 3}+\cdots \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где ненаписанные члены будут не ниже пятой степени, а члены написанные имеют вид
\[
p_{i} q_{i}\left[\left(c_{i 1}+d_{i 1}\right) p_{1} q_{1}+\cdots+\left(c_{i m}+d_{i m}\right) p_{m} q_{m}\right] \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Мы покажем, что это выражение тождественно равно нулю.
В самом деле, из только что приведенных дифференциальных уравнений следуют тотчас же неравенства
\[
\left|\frac{d \pi_{i}}{d t}\right| \leqslant K\left(\pi_{i}+\cdots+\pi_{m}\right)^{2} \quad\left(\pi_{i}=p_{i} q_{i}\right)
\]

для $i=1, \ldots, m$, где $\pi_{1}, \ldots, \pi_{m}$, разумеется, суть неотрицательные количества $\left({ }^{17}\right)$. Эти последние неравенства дают
\[
\left|\frac{d u}{d t}\right| \leqslant m K u^{2} \quad\left(u=\sum_{j=1}^{m} \pi_{j}\right),
\]

откуда
\[
\left|u-u_{0}\right| \leqslant 4 m K u_{0}^{2}\left|t-t_{0}\right| \leqslant 4 m K T u_{0}^{2}
\]

для любого данного промежутка времени $\left|t-t_{0}\right| \leqslant T$, при условии, что $u_{0}$ достаточно мало. Это неравенство можно получить, применяя методы, указанные в $\S 2$. Следовательно, $u-u_{0}$ второго порядка относительно $u_{0}$ во всем этом интервале, и в то же время неравенства для $d \pi_{i} / d t$ показывают, что $\pi_{i}-\pi_{i}^{0}$ тоже второго порядка. Таким образом выражение
\[
q_{i} P_{i 3}+p_{i} Q_{i 3},
\]

являющееся однородным квадратичным полиномом относительно $\pi_{i}, \ldots, \pi_{m}$, отличается от своего значения в точке $t=t_{0}$ на величину третьего порядка относительно $u_{0}$, и приведенные выше дифференциальные уравнения дают:
\[
\left|\frac{d \pi_{i}}{d t}-\left(q_{i}^{0} P_{i 3}^{0}+p_{i} Q_{i 3}^{0}\right)\right| \leqslant L u_{0}^{5 / 2} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Интегрируя, получаем:
\[
\left|\pi_{i}-\pi_{i}^{0}-\left(q_{i}^{0} P_{i 3}^{0}+p_{i}^{0} Q_{i 3}^{0}\right)\left(t-t_{0}\right)\right| \leqslant L T u_{0}^{5 / 2} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

в рассматриваемом интервале.
Пусть, далее, мы имеем:
\[
p_{i}^{0}=\alpha_{i} \varepsilon, \quad q_{i}^{0}=\beta_{i} \varepsilon \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $\alpha_{1}, \beta_{1}, \ldots, \alpha_{m}, \beta_{m}$ представляют собою $m$ произвольных пар сопряженных комплексных чисел, и предположим, что $\varepsilon$ стремится к нулю. Последнее написанное неравенство, в котором $u_{0}$ нужно рассматривать как постоянное кратное $\varepsilon^{2}$, показывает, что
\[
\lim _{\varepsilon=0} \frac{\left(\pi_{i}-\pi_{i}^{0}\right)}{\varepsilon^{4}}=\alpha_{i} \beta_{i}\left[\left(c_{i 1}+d_{i 1}\right) \alpha_{1} \beta_{1}+\cdots+\left(c_{i m}+d_{i m}\right) \alpha_{m} \beta_{m}\right]\left(t-t_{0}\right),
\]

причем мы имеем равномерное приближение к пределу в рассматриваемом интервале. С другой стороны, мы можем в этом интервале изобразить $\pi_{i}$ тригонометрической суммой вышеуказанного типа с точностью до величины порядка $\varepsilon^{5}$, и, следовательно, $\left(\pi_{i}-\pi_{i}^{0}\right) / \varepsilon^{4}$ может быть изображено такой суммой с точностью до величины порядка $\varepsilon$. Таким образом левая часть написанного равенства есть предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических сумм, удовлетворяющих условию леммы, и, следовательно, она тоже должна быть тригонометрической суммой. Но это может иметь место только в том случае, если суммы $c_{i j}+d_{i j}$ обращаются в нуль при всех значениях $i$ и $j$, что и требовалось доказать.

Таким образом, выписывая члены до третьей степени включительно относительно $p_{i}, q_{i}$, мы имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p_{i}}{d t}=-p_{i}\left[\lambda_{i}-\sum_{j=1}^{m} c_{i j} p_{j} q_{j}\right]+\cdots, \\
\frac{d q_{i}}{d t}=q_{i}\left[\lambda_{i}-\sum_{j=1}^{m} c_{i j} p_{j} q_{j}\right]+\cdots\left({ }^{18}\right) .
\end{array}
\]

Таким путем мы можем последовательно удалять из $P_{i}, Q_{i}$ члены все высшей и высшей степени, за исключением членов, являющихся произведениями соответственно $p_{i}$ или $q_{i}$ на полиномы относительно $m$ произведений $p_{j} q_{j}$. Коэффициенты в $P_{i}, Q_{i}$ при этих остающихся членах будут постоянные числа, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку.

Всякая вполне устойчивал система уравнений (1) может быть формально приведена к нормальному виду
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d \xi_{i}}{d t} & =-M_{i} \xi_{i} \\
\frac{d \eta_{i}}{d t} & =M_{i} \eta_{i}
\end{array}\right\} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

где $M_{1}, \ldots, M_{m}$ являются чисто мнимыми степенными рядами $\left({ }^{19}\right)$ относительно т переменных $\xi_{i}, \eta_{i}$, m. е.
\[
M_{i}=\lambda_{i}-\sum_{j=1}^{m} c_{i j} \xi_{j} \eta_{j}+\cdots \quad(i=1, \ldots, m),
\]

и $\xi_{i}, \eta_{i}$ суть сопряженные комплексные переменные.
Обратно, если какая-нибудь система уравнений может быть приведена к такому нормальному виду, то из рассуждений $\S 2$ следует, что такая система вполне устойчива.