Известным интегралом, квадратичным относительно скоростей, является интеграл энергии. Кроме того, известно, что динамические системы так называемого типа Лиувилля, для которых $L$ имеет вид:
\[
L=\frac{1}{2} U \sum_{j=1}^{m} v_{j}\left(q_{j}\right) q_{j}^{2}-\frac{W}{U},
\]

где
\[
U=\sum_{j=1}^{m} u_{j}\left(q_{j}\right), \quad W=\sum_{j=1}^{m} w_{j}\left(q_{j}\right)
\]

имеют $m$ интегралов, квадратичных относительно скоростей, а именно:
\[
\frac{1}{2} U^{2} v_{i} q_{i}^{\prime 2}-c u_{i}+w_{i}=c_{i} \quad(i=1, \ldots, m)\left({ }^{5}\right),
\]

и могут быть полностью проинтегрированы.
Мы предполагаем здесь рассмотреть частный случай обратной задачи: определить условия, при которых система Лагранжа с двумя степенями свободы, обратимого типа, с постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, квадратичный относительно скоростей, т. е. вида
\[
V \equiv \frac{1}{2}\left(a x^{2}+2 b x^{\prime} y^{\prime}+c y^{2}\right)+d x^{\prime}+e y^{\prime}+f=k,
\]

где $a, \ldots, f$ суть функции от $x$ и $y$, причем мы предполагаем, что этот интеграл не является линейной комбинацией интеграла энергии и линейного интеграла.

Если такой интеграл существует, то любое преобразование переменных $x, y, t$ типа, рассмотренного в $\S 3$, оставляет форму этого интеграла без изменения. Следовательно, мы можем привести наши уравнения к нормальному виду, для которого
\[
L=\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)+\gamma .
\]

Дифференцируя предполагаемый интеграл и исключая $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}$ с помощью уравнений Лагранжа, мы получим полином не выше чем третьей степени относительно $x^{\prime}, y^{\prime}$, который должен обращаться тождественно в нуль в силу соотношения $W \equiv \frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{2}\right)-\gamma=0$. Но члены третьей степени относительно $x^{\prime}, y^{\prime}$ суть
\[
\frac{1}{2} a_{x} x^{\prime 3}+\left(b_{x}+\frac{1}{2} a_{y}\right) x^{\prime 2} y^{\prime}+\left(b_{y}+\frac{1}{2} c_{x}\right) x^{\prime} y^{\prime 2}+\frac{1}{2} c_{y} y^{\prime 3} .
\]

Эти члены вместе с членами низших порядков должны дать нуль на основании равенства $W=0$. Это может быть только в том случае, если написанный полином делится на $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}$, т. е. если
\[
a_{x}-c_{x}=2 b_{y}, \quad a_{y}-c_{y}=-2 b_{x} .
\]

Но эти формулы представляют собой дифференциальное уравнение Коши-Римана для сопряженных гармонических функций $a-c, 2 b$, и мы можем написать:
\[
a-c=2 u_{y}, \quad b=u_{x},
\]

где $u$ – гармоническая функция.
Из этого следует, что квадратичные члены предполагаемого интеграла можно написать в виде:
\[
\frac{1}{2} u_{y} x^{\prime 2}+u_{x} x^{\prime} y^{\prime}-\frac{1}{2} u_{y} y^{\prime 2}+\rho\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) .
\]

Принимая во внимание интеграл энергии, мы можем заменить последний член на $2 \rho \gamma$. Остальные квадратичные члены могут быть записаны так:
\[
\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[\left(u_{y}-i u_{x}\right)\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)^{2}\right]
\]

где $\operatorname{Re}(z)$ означает вещественную часть $z$.
Определим теперь аналитическую функцию $g$ от $x+i y$ соотношением
\[
g^{\prime 2}=\frac{1}{u_{y}+i u_{x}},\left({ }^{6}\right)
\]

и совершим замену переменных
\[
\bar{x}+i \bar{y}=g(x+i y), \quad d \bar{t}=\left|g^{\prime}\right|^{2} d t,
\]

сохраняющую нормальную форму уравнений. Мы видим, что написанные выше квадратичные члены, которые можно записать еще так:
\[
\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[\frac{g^{\prime 2}(d x+i d y)^{2}}{\left|g^{\prime}\right|^{4} d t^{2}}\right],
\]

в новых переменных превращаются в
\[
\frac{1}{2}\left(\bar{x}^{\prime 2}-\bar{y}^{\prime 2}\right) .
\]

Следовательно, наш интеграл примет более простой вид:
\[
\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}\right)+d x^{\prime}+e y^{\prime}+f=k,
\]

если мы будем писать для простоты $x, y, t$ вместо $\bar{x}, \bar{y}, \bar{t}$.
Далее, продифференцировав это уравнение по $t$, как прежде, получим после исключения $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}$ :
\[
\begin{array}{l}
d_{x} x^{\prime 2}+\left(d_{y}+e_{x}\right) x^{\prime} y^{\prime}+e_{y} y^{\prime 2}+\left(f_{x}+\gamma_{x}\right) x^{\prime}+ \\
+\left(f_{y}-\gamma_{y}\right) y^{\prime}+d \gamma_{x}+e \gamma_{y}=0 .
\end{array}
\]

Члены первой степени должны тождественно обращаться в нуль, откуда находим:
\[
\gamma=\varphi(x)+\psi(y) ; \quad f=-\varphi(x)+\psi(y) .
\]

Но при таком виде $\gamma$ дифференциальные уравнения сразу интегрируемы.

Если обратимая лагранжева система с двумя степенями свободы и с постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, квадратичный относительно скоростей и существенно отличный от интеграла энергии, то преобразованием переменных мы можем добиться того, чтобы уравнения и интеграл энергии приняли вид
\[
x^{\prime \prime}=\varphi^{\prime}(x), \quad y^{\prime \prime}=\psi^{\prime}(y), \quad \frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)=\varphi(x)+\psi(y) .
\]

Квадратичный интеграл в таком случае будет
\[
\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}\right)=\varphi(x)-\psi(y)+k,
\]

и уравнения полностью интегрируемы, причем решение их имеет вид:
\[
t=\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sqrt{\varphi+k / 2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d y}{\sqrt{\psi-k / 2}} .
\]

Уравнения типа Лиувилля представляют собой существенно эквивалентный случай.