Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Мы видели уже (глава IV, §1) как пфаффова система уравнений общего вида, не содержащая времени $t$ в явном виде, допускает приведение к подобной же системе с меньшим на единицу числом степеней свободы при условии, что мы ограничимся рассмотрением движений вблизи данного периодического движения. В приведенной системе, однако, независимая переменная появляется в дифференциальных уравнениях с периодом $\tau$, а данное периодическое движение принимает вид обобщенного равновесия. В этом параграфе мы намерены рассмотреть периодические движения в окрестности данного периодического движения для гамильтоновых уравнений с двумя степенями свободы $(m=2)$ : в которых $H$ есть аналитическая функция от $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ не содержащая времени $t$. Однако такое периодическое движение допускает аналитическое продолжение с изменением постоянной энергии $H=h$ (глава $V, \S 9)$ и, следовательно, не изолировано. Нашей целью будет рассмотреть те периодические движения, которые принадлежат тому же значению $h$, что и данное периодическое движение. Это значение может быть принято равным нулю. Возможность приведения к пфаффовой системе с одной степенью свободы ( $m=1$ ) вместе с результатами предыдущего параграфа делает с самого начала весьма вероятным, что в окрестности данного периодического движения будет, вообще говоря, бесконечное множество периодических движений с большим периодом, если только данное периодическое движение устойчиво. При рассмотрении этого вопроса мы сделаем дальнейшее допущение, что данная гамильтонова проблема связана с обыкновенной лагранжевой проблемой, имеющей главную функцию $L$, квадратичную относительно скоростей. Если $q_{1}, q_{2}$ суть координаты этой лагранжевой системы, то уравнения служат, разумеется, для определения переменных $p_{1}, p_{2}$. Очевидно, что мы можем ввести новую систему координат $\bar{q}_{1}, \bar{q}_{2}$ так, чтобы $\bar{q}_{2}$ обращалось в нуль вдоль периодического движения, а $q_{1}$ возрастало на $2 \pi$, когда точка проходит полный период периодического движения. Например, если кривая движения не имеет двойных точек, то ее можно деформировать в окружность с центром в начале координат, и тогда мы можем за $\bar{q}_{1}$ и $\bar{q}_{2}$ принять соответственно угол и радиальное смещение. Вообще же говоря, очевидно, что мы можем принять $\bar{q}_{1}=\frac{2 \pi t}{\tau}$ вдоль периодического движения. Разумеется, эта замена переменных $q_{1}, q_{2}$ на $\bar{q}_{1}, \bar{q}_{2}$ не изменит лагранжева характера динамической проблемы, но новая главная функция $L$ будет периодической относительно переменного $\bar{q}_{1}$ с периодом $2 \pi$. Соответственная гамильтонова проблема будет иметь вид (13), где $H$ будет периодической функцией от $q_{1}$ периода $2 \pi$, причем для рассматриваемого периодического движения будем иметь $q_{1}=\frac{2 \pi t}{\tau}, q_{2}=0$. Из соответствующих гамильтоновых уравнений получим (также вдоль данного периодического движения): Очевидно теперь, что мы можем решить уравнение $H=h$ относительно $p_{1}$ и получить решение в виде где $K$ есть вещественная однозначная аналитическая функция своих четырех аргументов, периодическая с периодом $2 \pi$ по $q_{1}$. Кроме того, мы можем рассматривать $h, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ как зависимые переменные, вместо $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$; мы замечаем, что уравнение (14) может быть разрешено относительно $h$, так как из соотношения $H=h$ мы получаем: так что $\partial p_{1} / \partial h который приводит к четырем уравнениям: Из этих уравнений мы можем непосредственно вывести соотношение $h=$ const, справедливость которого, разумеется, и так известна. Но очевидно, что в окрестности данного периодического движения $q_{1}$ может служить независимой переменной так же, как $t$. Исключив $t$ из предыдущих уравнений, получим: Здесь мы должны положить $h=0$ в функции $К$, которая является периодической функцией от $q_{1}$ периода $2 \pi$. Данное периодическое движение соответствует значениям $p_{2}, q_{2}$ : где $\varphi$ — периодическая функция $q_{1}$, с периодом $2 \pi$. Эти уравнения будут, очевидно, гамильтоновыми с одной степенью свободы ( $m=1$ ), и мы можем преобразовать их в гамильтонову систему с точкой обобщенного равновесия в начале координат, если положим причем новой главной функцией будет И обратно, если мы имеем решение уравнений (16), то мы можем определить $t$ с помощью уравнения и получить решение первоначальной системы, приняв за независимую переменную $t$. Таким образом, системы (13) и (16) эквивалентны ${ }^{1}$. Периодические движения в окрестности данного периодического движения для (13) соответствуют движениям с периодом $2 k \pi$ в окрестности начала координат для системы (16). Для гамильтоновой проблемы (13), приводящейся к проблеме обобщенного равновесия устойчивого типа $(l соответствует много раз повторенному периоду первоначального движения. Это предложение, разумеется, получается непосредственным применением результатов § 1 этой главы к приведенной проблеме (16).
|
1 |
Оглавление
|