Возьмем произвольное число $\delta>0$.
Посредством преобразования $T$ любая точка $P_{0}$ круга $C$ переводится в точку $T\left(P_{0}\right)$ круга $C$. Направленное наружу радиальное перемещение на произвольное расстояние $\alpha_{0}$, удовлетворяющее лишь условию $0 \leqslant \alpha_{0}<\delta$, переводит $T\left(P_{0}\right)$ в точку $P_{1}$, лежащую на той же радиальной прямой. Подобным же образом направленное наружу радиальное перемещение точки $T\left(P_{1}\right)$ на расстояние $\alpha_{1}$, удовлетворяющее лишь условно $0 \leqslant \alpha_{1}<\delta$, переводит $T\left(P_{1}\right)$ в точку $P_{2}$, лежащую на той же радиальной прямой. Продолжая таким же образом, получаем $\delta$-цель точек
\[
P_{0}, P_{1}, P_{2}, \ldots,
\]

в которой каждая точка получается из предыдущей посредством применения преобразования $T$ и последующего направленного наружу радиального перемещения на расстояние, меньшее числа $\delta$. $\delta$-цепь может оборваться на некотором $n$-м шаге только тогда, когда $P_{n}$ лежит вне $R$, так что преобразование $T$ в этой точке не определено. Такая обрывающаяся $\delta$-цепь будет называться конечной.
Условие несуществования конечной $\delta$-цепи содержит следующая

Лемма 1. Для того, чтобы не существовало конечной $\delta$-цепи, необходимо и достаточно, чтобы в $R$ содержалось открытое кольцо $\Sigma$, опирающееся на $C$ и переходящее при преобразовании $T$ в кольцо $T(\Sigma)$, содержащееся в $\Sigma$ и радиально отстоящее от внешней границы кольца $\Sigma$ не менее чем на $\delta$.

Достаточность условия очевидна. В самом деле, если точка $P$ лежит в таком континууме $\Sigma$, то ее образ $T(P)$ и всякая точка, получаемая из $T(P)$ посредством направленного наружу радиального перемещения на расстояние, меньшее чем $\delta$, также лежит в $\Sigma$, так как $T(P)$ лежит в $T(\Sigma)$. Таким образом, последовательные элементы цепи $P_{1}, P_{2}, \ldots$ должны все лежать в $\Sigma$ и потому в $R$, так как $P_{0}$ лежит в $\Sigma$.

Необходимость условия также легко устанавливается. Мы начнем с рассмотрения точечных множеств $M_{0}, M_{1}, \ldots$, образованных соответственно точками $P_{0}, P_{2}, \ldots$

Множество $M_{0}$, разумеется, совпадает с кругом $C$. Множество $M_{1}$, очевидно, является открытым круговым кольцом.
\[
a \leqslant r<a+\delta .
\]

Оно содержит $M_{0}$ и состоит из внутренних точек, исключая точки круга $C$.

Множество $M_{2}$ содержит $M_{1}$ и потому $M_{0}$. В самом деле, для всякой точки $P_{0}$ на круге $C$ существует единственная точка $P_{-1}$, переходящая в $P$ при преобразовании $T$. Таким образом, точки $P_{-1}, P_{0}, P_{1}$ образуют $\delta$-цепь из трех точек, в силу чего $P_{1}$ принадлежит также $M_{2}$.

Далее, все точки множества $M_{2}$, кроме точек круга $C$, суть внутренние точки. Чтобы это показать, нам, разумеется, можно уже не рассматривать точек $P_{2}$, принадлежащих $M_{1}$. Для точки $P_{2}$, не принадлежащей $M_{1}$, соответствующая точка $P_{1}$ есть внутренняя точка $M_{1}$. Так как преобразование одно-однозначно и взаимно непрерывно, то оно переводит $P_{1}$ и окрестность $P_{1}$ в $T\left(P_{1}\right)$ и окрестность $T\left(P_{1}\right)$. Дальнейшее радиальное перемещение переводит $T\left(P_{1}\right)$ и окрестность этой точки в точку $P_{2}$ и ее окрестность. Следовательно, $P_{2}$ и в этом случае есть внутренняя точка множества $M_{2}$.

Наконец, множество $M_{2}$ связно, так как оно получается при радиальном перемещении связного множества $T\left(M_{1}\right)$.

Таким образом, мы усматриваем, что $M_{1}, M_{2}, \ldots$ есть возрастающая последовательность открытых связных множеств, опирающихся на $C$. Если конечных $\delta$-цепей не существует, то получается бесконечная последовательность таких областей, причем все они лежат в $R$. Они определяют предельное открытое связное множество, опирающееся на $C$. Это множество $S$, очевидно, есть не что иное, как совокупность всех точек, принадлежащих каким-либо $\delta$-цепям.

Рассмотрим теперь область $T(S)$. Так как в случае принадлежности точки $Q$ к $M_{p}$ точка $T(Q)$ принадлежит $M_{p+1}$, то $T(S)$ есть открытое связное множество, опирающееся на $C$ и содержащееся в $S$. Далее, если $T(Q)$ передвинуть наружу в радиальном направлении на расстояние, меньшее, чем $\delta$, то получающаяся точка все еще будет принадлежать $M_{p+1}$. Таким образом, каждая точка множества $T(S)$ отстоит не менее чем на $\delta$ от границы множества $S$ в наружном радиальном направлении.

Следовательно, если бы $\delta$ было кольцом, то оно было бы областью того типа, существование которого утверждается в лемме. Однако вполне допустимо, что часть границы множества $S$, достижимая из бесконечности, не составляет всей границы. Это будет тогда, когда $S$ захватывает $\left({ }^{2}\right)$ некоторые области или части своей наружной границы и, таким образом, не является кольцом.

Допустим теперь, что $S$ не есть кольцо, и обозначим через $\bar{S}$ захваченное точечное множество. Ясно, что множество $S+\bar{S}$ образует настоящее кольцо. Докажем, что эта увеличенная область $S+\bar{S}$ удовлетворяет остальным условиям, налагаемым на $\Sigma$ в лемме 1 .

Ясно, что $S+\bar{S}$ содержится в $R$, так как $S$ содержится в $R$; следовательно, $S+\bar{S}$ может быть подвергнуто преобразованию $T$. При этом $T$ преобразует это множество в самого себя или в часть самого себя. В самом деле, если какая-либо точка принадлежит $S$, то мы видели, что $T$ переводит ее в точку множества $S$, если же точка принадлежит $\bar{S}$ и, следовательно, захватывается множеством $S$, то она переводится в точку, захватываемую множеством $T(S)$ и тем более захватываемую самим $S$, т.е. также в точку множества $S+\bar{S}$. Далее, аналогичное рассуждение показывает, что каждая точка множества $T(S+\bar{S})$ отстоит не менее чем на $\delta$ от границы множества $S+\bar{S}$ в наружном радиальном направлении. В самом деле, если такая точка принадлежит $T(S)$, то она обладает этим свойством относительно границы множества $S$; если же точка принадлежит $T(\bar{S})$, то она получается из точки, захватываемой $S$, и потому захватывается $T(S)$, в силу чего последующее радиальное перемещение в направлении наружу на расстояние, меньшее, чем $\delta$, дает точку, захватываемую $S$ и, значит, принадлежащую $S+\bar{S}$. Этот последний шаг основан на ранее доказанном соотношении между $S$ и $T(S)$.

Следовательно, $S+\bar{S}$ во всех случаях образует кольцо $\Sigma$, обладающее свойствами, указанными в лемме 1. Доказательство, таким образом, завершено.