Перейдем теперь к рассмотрению более общей пфаффовой вариационной проблемы
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{2 m} X_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}\right) x_{j}^{\prime}+Z\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}\right)\right] d t=0,
\]

которая приводит немедленно к системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $2 m$ :
\[
\sum_{j=1}^{2 m}\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}\right) \frac{d x_{j}}{d t}-\frac{\partial Z}{\partial x_{i}}=0 \quad(i=1, \ldots, 2 m) .
\]

Мы рассмотрим тот случай этих уравнений, когда в начале координат имеется точка равновесия, причем будем предполагать, что $2 \mathrm{~m}$ аналитических функций $X_{i}$ таковы, что кососимметрический определитель
\[
\left|\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{j}}\right|
\]

отличен от нуля в начале координат. Постоянные члены в рядах для функций $X_{i}$ могут быть всюду опущены.

Уравнения Гамильтона, очевидно, являются частным случаем этих пфаффовых уравнений (12).

Как будет показано в следующей главе, эти обобщения уравнений Гамильтона разделяют с последними то важное свойство, что для них автоматически выполняются все условия полной устойчивости, если только они удовлетворяют очевидным условиям устойчивости первого порядка. Следовательно, с этой точки зрения пфаффовы уравнения являются столь же важными для динамики, как и гамильтоновы, хотя первые принадлежат к более общему типу и, кроме того, имеют одно дополнительное преимущество, а именно: они сохраняют свою пфаффову форму при любом преобразовании переменных, принадлежащем к формальной группе. В самом деле, достаточно только произвести замену переменных под знаком интеграла в формуле (12), чтобы получить преобразованные значения функций $X_{i}$ и $Z$.

В первую очередь для получения нормальной формы уравнений Пфаффа покажем, что множители для этих уравнений так же, как и для уравнений Гамильтона, разбиваются на пары $\lambda_{i},-\lambda_{i}$.

Заметим, что в общем случае эти множители должны быть различными, так как они различны для гамильтоновых уравнений, являющихся частным случаем пфаффовых.

Произведем линейное преобразование с постоянными коэффициентами, приводящее уравнения вариации к нормальному виду. Это преобразование, разумеется, сохраняет пфаффову форму уравнений. Соответственные уравнения вариации, получаемые из уравнений (13), будут:
\[
\sum_{j=1}^{2 m}\left[\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}\right) \frac{d y_{j}}{d t}-\frac{\partial^{2} Z}{\partial x_{i} \partial x_{j}} y_{j}\right]=0 .
\]

Они должны иметь частные решения
\[
y_{i}=\delta_{i k} e^{\lambda_{k} t} \quad(i=1, \ldots, 2 m)
\]

при $k=1, \ldots, 2 m$. При этом подразумевается, что в формулах уравнений вариации значения частных производных $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}$ и т. д. берутся в начале координат.

Подставляя в уравнения вариации написанные частные решения, легко получаем:
\[
\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}}-\frac{\partial X_{k}}{\partial x_{i}}\right) \lambda_{k}-\frac{\partial^{2} Z}{\partial x_{i} \partial x_{k}}=0 .
\]

Если мы переменим $i$ и $k$ местами и полученное уравнение вычтем из только что написанного, то получим:
\[
\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}}-\frac{\partial X_{k}}{\partial x_{i}}\right)\left(\lambda_{k}+\lambda_{i}\right)=0 \quad(i, k=1, \ldots, m) .
\]

Но если для какого-нибудь $k$ не найдется такого $i$, чтобы $\lambda_{i}+\lambda_{k}=0$, то вышеупомянутый кососимметрический определитель необходимо должен обращаться в нуль. Последнее невозможно, так как уравнения вариации вырождались бы. Следовательно, каждому множителю $\lambda_{i}$ можно всегда сопоставить другой $\lambda_{k}=-\lambda_{i}$, но это как раз и есть то, что мы хотели доказать.

В проблеме равновесия для пфаффовых уравнений множители можно разбить на пары так, чтобы множители каждой пары различались только знаком $\left({ }^{16}\right)$. Эти множители можно обозначить через $\lambda_{1},-\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m},-\lambda_{m}$. Они должны быть вещественными или чисто мнимыми количествами $\left({ }^{17}\right)$.

Очевидно, мы можем определить общий случай как такой, когда между величинами $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ нет никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами, совершенно так же, как в случае уравнений Гамильтона. Мы ограничимся рассмотрением этого общего случая.