Из сказанного в § 2 видно, что пфаффовы и гамильтоновы системы обладают в известном смысле полной формальной или тригонометрической устойчивостью в случае,

если $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}, 2 \pi \sqrt{-1} / \tau$ суть чисто мнимые количества, не связанные никаким линейным соотношением с целыми коэффициентами.

Мы перейдем теперь к определению этого понятия «полной устойчивости».

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений четного порядка $2 m$
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}, t\right) \quad(i=1, \ldots, 2 m),
\]

имеющую в начале координат точку обобщенного равновесия, и положим, что при $t=t_{0}$ точка $x_{i}^{0}$ находится на расстоянии $\varepsilon$ от начала координат. Пусть $T$ будет какой-нибудь фиксированный промежуток времени, $f$ – любое целое положительное число и $P_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}, t\right)$ произвольный полином относительно $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ с коэффициентами аналитическими и периодическими (периода $\tau$ ) функциями от $t$, не имеющий членов степени ниже $s$. Если всегда возможно с ошибкой, численно меньшей, чем
\[
M \varepsilon^{f+s+1},
\]

апроксимировать $P_{s}$ для $\left|t-t_{0}\right| \leqslant T$ тригонометрической суммой порядка $N$ :
\[
\sum_{j=0}^{N}\left(A_{j} \cos l_{j} t+B_{j} \sin l_{j} t\right) \quad\left(\left|l_{i}-l_{j}\right|>l>0\right),
\]

где $M, N, l$ зависят только от $f$ и $P_{s}$ и где $l_{0}=0$, то мы будем говорить, что уравнения (5) «вполне устойчивы».

В качестве весьма простого примера рассмотрим систему двух уравнений:
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=k x_{2}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=-k x_{1},
\]

общее решение которой будет:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=A \cos k t+B \sin k t, \\
x_{2}=-A \sin k t+B \cos k t,
\end{array}
\]

так что координаты $x_{1}, x_{2}$ представляются тригонометрическими суммами первого порядка. Любой полином $P_{s}$ степени $s_{1} \geqslant s$ также может быть точно представлен суммой, порядок $N$ которой не превосходит $2^{s_{1}+1}$. Следовательно, приведенный пример удовлетворяет определению «полной устойчивости».

Результаты, полученные в §2, показывают, что в случае гамильтоновых или пфаффовых уравнений из определенной ранее обыкновенной устойчивости системы всегда следует полная устойчивость.

Это непосредственно следует из того, что разности $l_{i}-l_{j}$, входящие в тригонометрические суммы $\S 2$, приближенно выражаются через некоторое ограниченное число линейных комбинаций с целыми коэффициентами $m+1$ количеств $\lambda_{1} / \sqrt{-1}, \ldots, \lambda_{m} / \sqrt{-1}, 2 \pi / \tau$, и ни одна из этих комбинаций не обращается в нуль.

В случае полной устойчивости решения нормализированных уравнений вариации (глава III, §5) будут пределами тригонометрических сумм указанного типа и, следовательно, будут сами тригонометрическими на основании леммы о тригонометрических суммах, приведенной ниже (в $\S 5$ и 6 этой главы). Следовательно, множители будут чисто мнимыми количествами.

Весьма важно показать, что это определение полной устойчивости независимо от выбранной нами системы координат $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$. В самом деле, предположим, что данная система вполне устойчивая. Произведем допустимое преобразование координат:
\[
\bar{x}_{i}=\varphi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}, t\right) \quad(i=1, \ldots, 2 m),
\]

где $\varphi_{i}$ – аналитические функции от $x_{1}, \ldots, x_{2} m, t$, равные нулю в начале координат и при этом такие, что определитель $\left|\partial \varphi_{i} / \partial x_{j}\right|$ не равен нулю в начале координат, причем коэффициенты в разложении по степеням $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ суть аналитические периодические функции от $t$ периода $\tau$. Тогда две переменные
\[
\bar{\varepsilon}=\left.\left[\bar{x}_{1}^{2}+\cdots+\bar{x}_{2 m}^{2}\right]^{1 / 2}\right|_{t=t_{0}}
\]

и
\[
\varepsilon=\left.\left[x_{1}^{2}+\cdots+x_{2 m}^{2}\right]^{1 / 2}\right|_{t=t_{0}},
\]

очевидно, обе одинаково могут служить для измерения расстояния от начала при $t=t_{0}$, так как мы имеем
\[
0<d<\frac{\bar{\varepsilon}}{\varepsilon}<D
\]

в окрестности начала $\left({ }^{13}\right)$.
Рассмотрим теперь какой-нибудь полином $P_{s}\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{2 m}, t\right)$, который, очевидно, может быть представлен в виде
\[
P^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}, t\right)+Q\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}, t\right),
\]

где $P^{*}$ есть полином относительно $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, не содержащий членов степени ниже $s$, а $Q$ может быть представлено как степенной ряд, начинающийся с членов степени не ниже $f+s+1$. Очевидно, что, с одной стороны, полином $P^{*}$ может быть представлен тригонометрической суммой указанного типа с ошибкой порядка $f+s+1$ относительно $\varepsilon$ (по условию полной устойчивости), а с другой стороны, что $Q$ само порядка $f+s+1$. Следовательно, полином $P_{s}\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{2 m}, t\right)$ может быть представлен той же самой тригонометрической суммой с ошибкой того же порядка. Таким образом, полная устойчивость системы в новых переменных доказана.

Сам по себе факт, что множители системы $2 m$ дифференциальных уравнений первого порядка распадаются на $m$ чисто мнимых пар, отнюдь не доказывает полной устойчивости системы в установленном выше смысле. Простым примером системы, не обладающей полной устойчивостью, хотя и имеющей только чисто мнимые множители, может служить система двух уравнений:
\[
\frac{d x}{d t}=k y+x\left(x^{2}+y^{2}\right), \quad \frac{d y}{d t}=-k x+y\left(x^{2}+y^{2}\right),
\]

где $k$ положительно и за основной период взято $2 \pi$. Множителями этой системы будут чисто мнимые количества $\pm k \sqrt{-1}$. Но, если первое из этих уравнений мы умножим на $2 x$, а второе на $2 y$ и получившиеся уравнения сложим, то будем иметь
\[
\frac{d u}{d t}=2 u^{2} \quad\left(u=x^{2}+y^{2}\right),
\]

откуда, интегрируя, получаем
\[
u=\frac{u_{0}}{1-2 u_{0}\left(t-t_{0}\right)} .
\]

Если бы система обладала полной устойчивостью, то мы могли бы найти постоянное целое число $N$ настолько большое, что для некоторого постоянного $K$ имело бы место неравенство
\[
\left|u-S_{N}\right| \leqslant K u_{0}^{3},
\]

где $S_{N}$ изображает тригонометрическое выражение порядка $N$ указанного выше типа; это следует из того, что $u$ является однородным квадратичным полиномом относительно $x$ и $y$, а $u_{0}$ – квадрат расстояния $\varepsilon^{2}$. Вышеприведенное неравенство может быть записано в виде
\[
\left|\frac{u-u_{0}}{u_{0}^{2}}-\frac{S_{N}-u_{0}}{u_{0}^{2}}\right| \leqslant K u_{0} .
\]

Пусть теперь $u_{0}$ стремится к нулю. Очевидно, что
\[
\lim _{u_{0}=0} \frac{u-u_{0}}{u_{0}^{2}}=2\left(t-t_{0}\right)
\]

Отсюда следует, что
\[
\lim _{u_{0}=0} \frac{S_{N}-u_{0}}{u_{0}^{2}}=2\left(t-t_{0}\right) .
\]

Но стоящее в левой части выражение является тригонометрической суммой указанного вида порядка не выше $N$; эта сумма стремится к своему пределу равномерно. Следовательно, на основании леммы о тригонометрических суммах, формулировка и доказательство которой содержатся в §5 и 6 этой главы, предел этой суммы будет суммой того же вида. Но представить $2\left(t-t_{0}\right)$ как конечную тригонометрическую сумму, очевидно, невозможно. Следовательно, в этом случае мы не имеем полной устойчивости.

Как мы видели, условие, чтобы все множители были чисто мнимыми количествами, необходимо, хотя и недостаточно, для полной устойчивости. Обозначая $m$ пар чисто мнимых множителей через $\pm \lambda_{1}, \ldots, \pm \lambda_{m}$, мы будем в дальнейшем предполагать, что между $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ и $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$ нет никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами. Разумеется, при этом предположении мы исключаем из рассмотрения некоторые особые случаи, которые требуют дальнейшего изучения.

Для полной устойчивости оказывается необходимым выполнение бесконечного множества условий помимо условия, чтобы все множители были чисто мнимыми.