2.3. Преобразование Фурье
Переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье лучше всего проиллюстрировать с помощью конкретного примера 2.2.1, рассмотренного в предыдущем параграфе. Предположим, что Т стремится к бесконечности. Тогда согласно рис. 2.3 последовательность импульсов вырождается в единственный импульс, который представляет собой апериодическую (т. е. непериодическую) функцию 
. На основании рис. 2.4а можно сделать вывод, что с увеличением Т спектральные линии сжимаются и в конце концов превращаются в непрерывную функцию вида 
. Теперь проанализируем поведение комплексного коэффициента Фурье 
, который определяется как
(2.3.1)
Когда Т стремится к бесконечности, основная угловая частота 
становится равной дифференциалу угловой частоты 
а 
, которая представляет собой 
гармонику угловой частоты, становится непрерывной угловой частотой 
. Таким образом, выражение (2.3.1) сводится к следующему:
(2.3.2)
Правая часть выражения (2.3.2) представляет собой преобразование Фурье функции 
, которое обозначим через 
, т. е.
(2.3.3)
Рассмотрим предел выражения (2.2.10) при Т, стремящемся к бесконечности. Это выражение можно записать следующим образом:
(2.3.4)
Когда Т стремится к бесконечности, суммирование по всем гармоникам в выражении (2.3.4) можно заменить интегрированием в бесконечных пределах 
. Вновь воспользуемся теми же аргументами, что и в предельном переходе от выражения (2.3.1) к выражению (2.3.2). В этом случае 
становится 
становится
переходит в 
. Следовательно, после предельного перехода выражение (2.3.4) определяется как
(2.3.5)
и называется обратным преобразованием Фурье функции 
Выражения (2.3.3) и (2.3.5) можно объединить следующим образом:
прямое преобразование Фурье
; (2.3.3)
обратное преобразование Фурье
(2.3.5)
Эти два выражения называются парой преобразований Фурье. Достаточным условием для существования преобразования Фурье
апериодической функции 
является абсолютная интегрируемость функции 
на интервале 
т. е. 
. Из выражения (2.3.3) следует, что 
является непрерывной функцией 
, которая может быть выражена следующим образом:
Таблица 2.3.1. Сводка рядов Фурье и пар преобразований Фурье
(2.3.6)
где 
и 
— действительная и мнимая части 
соответственно. Таким образом, амплитудный спектр мощности и фазовый спектры сигнала 
соответственно определяются как
(2.3.8)
и
(2.3.9)
В таблице 2.3.1 дана сводка рядов Фурье различных форм записи и соответствующие им пары преобразований Фурье.
