8.6. Субоптимальные диагональные фильтры [2—4]

Так как ПКЛ нельзя вычислить с помощью быстрых алгоритмов, вполне естественно рассмотреть возможность применения субоптимальных фильтров с диагональными матрицами преобразований, которые обладают быстрыми алгоритмами. В этом параграфе будет рассмотрено применение фильтров такого класса применительно , ПУА, преобразованию Хаара и дискретному косинусному преобразованию.

Фильтры с диагональными матрицами иногда называются скалярными фильтрами; векторные фильтры относятся к более общему классу, который определяется матрицами, содержащими ненулевые внедиагональные элементы.

Искомый скалярный фильтр можно получить, если на матрицу А в выражении (8.3.12) накладывать ограничение диагональности. Таким образом, если

(8.6.1)

является матрицей скалярного фильтра, то из выражения (8.3.12) имеем

(8.6.2)

где обозначают диагональные элементы матриц и соответственно.

Среднеквадратичная ошибка, связанная с , получается из (8.3.20) в виде

(8.6.3)

Так как , то

(8.6.4)

Подстановка (8.6.4) в выражение (8.6.3) приводит к

(8.6.5)

Поскольку Т является ортонормированным преобразованием, следует [см. задачу 8.6 и выражение (З8.6.1)]

(8.6.6)

Объединяя выражения (8.6.5) и (8.6.6), получаем

Так как — диагональная матрица, то можно записать в упрощенном виде

Подставляя из выражения (8.6.2), получаем следующее выражение для среднеквадратичной ошибки скалярного фильтра и ортогонального преобразования Т:

где и . В частности, для ПКЛ выражение (8.6.8) можно записать в виде (см. выражение (8.5.1))

где и — собственные векторы и соответственно.

Для сравнения качества работы различных скалярных фильтров вновь рассмотрим задачу оценивания марковского процесса на фоне белого шума. Соответствующие ковариационные матрицы сигнала и шума определяются выражениями (8.4.1) и (8.4.2) соответственно.

Таблица 8.6.1. Среднеквадратичная ошибка различных скалярных фильтров;

В табл. 8.6.1 приведены значения для различных значений N при и отношении сигнал/шум, равном единице (т. е. ) [5]. Из табл. 8.6.1 видно, что среднеквадратичная ошибка при дискретном косинусном преобразовании очень близка к ошибке при ПКЛ. Это подтверждается графиками качества работы фильтров (рис. 8.4), из которых видно, что график качества работы ДПФ асимптотически стремится к соответствующему графику ПКЛ. Этот результат является частным случаем теоремы Теплица, которая утверждает, что [3, 6]

Рис. 8.4. Среднеквадратичная ошибка скалярных фильтров

есть ковариационная матрица стационарного в широком смысле случайного процесса (см. выражение (П8.1.7)] и - матрица собственных значений .