8.2. Математическая модель [2]
На рис. 8.1 приведена структурная схема одномерной обобщенной системы винеровской фильтрации. Через Z обозначен входной 
-вектор, который представляет собой сумму вектора данных 
и шумового вектора W.
Рис. 8.1. Обобщенная модель винеровской фильтрации
Винеровский фильтр А представлен в виде матрицы 
. Ортогональное преобразование Т и обратное ему преобразование 
также записываются в виде 
матриц. Вектор 
представляет собой оценку X. Основная задача заключается в создании такого фильтра А, чтобы математическое ожидание среднеквадратичного отклонения 
от X было бы минимальным. В частном случае, когда Т является единичной матрицей I, изображенная на рис. 8.1 модель соответствует фильтру, первоначально предложенному Винером. В этом смысле структурная схема на рис. 8.1 является более общей. Отсюда и название — обобщенная винеровская фильтрация. Случай 
соответствует тождественному преобразованию (ТП), являющемуся простейшим ортогональным преобразованием.
Статистическая интерпретация. Для удобства будем предполагать, что элементы матрицы Т — действительные числа. Приводимые ниже определения легко можно обобщить при комплексных исходных данных (см. задачу 8.3).
Во многих случаях вектор Z можно рассматривать как выборку из случайного процесса (стационарного или нестационарного). Если вектор математического ожидания процесса обозначить через 
, то ковариационная матрица в области исходных данных определяется как
(8.2.1)
где Е — математическое ожидание. С помощью выражения (8.2.1) можно показать, что (см. приложение 8.1, формулу 
]
(8.2.2)
Подобным же образом ковариационная матрица в области изображений 
может быть определена как
(8.2.3)
где 
. Если ортогональная матрица 
, где I — единичная матрица, то 
из (8.2.3) можно записать в виде
Из выражения (8.2.4) следует, что ковариационные матрицы в области оригиналов и в области изображений связаны между собой преобразованием подобия. Более того, можно заметить, что 
можно рассматривать как двумерное преобразование 
, что удобно с вычислительной точки зрения.
Пример 8.2.1. Рассмотрим множество векторов исходных данных
а) Вычислим 
б) Используем результат 
для определения 
при
Решение, а) Вычислим 
и 
следующим образом:
Подстановка 
и 
в (8.2.2) дает
б) Формула (8.2.4) дает
