8.2. Математическая модель [2]

На рис. 8.1 приведена структурная схема одномерной обобщенной системы винеровской фильтрации. Через Z обозначен входной -вектор, который представляет собой сумму вектора данных и шумового вектора W.

Рис. 8.1. Обобщенная модель винеровской фильтрации

Винеровский фильтр А представлен в виде матрицы . Ортогональное преобразование Т и обратное ему преобразование также записываются в виде матриц. Вектор представляет собой оценку X. Основная задача заключается в создании такого фильтра А, чтобы математическое ожидание среднеквадратичного отклонения от X было бы минимальным. В частном случае, когда Т является единичной матрицей I, изображенная на рис. 8.1 модель соответствует фильтру, первоначально предложенному Винером. В этом смысле структурная схема на рис. 8.1 является более общей. Отсюда и название — обобщенная винеровская фильтрация. Случай соответствует тождественному преобразованию (ТП), являющемуся простейшим ортогональным преобразованием.

Статистическая интерпретация. Для удобства будем предполагать, что элементы матрицы Т — действительные числа. Приводимые ниже определения легко можно обобщить при комплексных исходных данных (см. задачу 8.3).

Во многих случаях вектор Z можно рассматривать как выборку из случайного процесса (стационарного или нестационарного). Если вектор математического ожидания процесса обозначить через , то ковариационная матрица в области исходных данных определяется как

(8.2.1)

где Е — математическое ожидание. С помощью выражения (8.2.1) можно показать, что (см. приложение 8.1, формулу ]

(8.2.2)

Подобным же образом ковариационная матрица в области изображений может быть определена как

(8.2.3)

где . Если ортогональная матрица , где I — единичная матрица, то из (8.2.3) можно записать в виде

Из выражения (8.2.4) следует, что ковариационные матрицы в области оригиналов и в области изображений связаны между собой преобразованием подобия. Более того, можно заметить, что можно рассматривать как двумерное преобразование , что удобно с вычислительной точки зрения.

Пример 8.2.1. Рассмотрим множество векторов исходных данных

а) Вычислим

б) Используем результат для определения при

Решение, а) Вычислим и следующим образом:

Подстановка и в (8.2.2) дает

б) Формула (8.2.4) дает