6.8. Спектр ПУА с упорядочением по Адамару [4, 13]
Энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару. Наряду с энергетическим спектром ПУА с упорядочением по Уолшу, инвариантным к диадическим сдвигам последовательности данных 
, можно построить спектр ПУА с упорядочением по Адамару, обладающий свойством инвариантности относительно циклических сдвигов исходной последовательности.
Наиболее просто это продемонстрировать для 
. Пусть 
обозначает 
, сдвинутую циклически влево на l позиций, т. е.
При 
имеем
(6.8.1)
где
Преобразование Уолша—Адамара с упорядочением по Адамару 
последовательности 
определяется как
или
(6.8.3)
где 
- преобразование подобия вида
(6.8.4)
В результате вычисления 
(6.8.4) получаем
Повторное использование выражения (6.8.4) дает
(6.8.5)
Как видно, 
состоит из квадратных матриц возрастающего порядка, расположенных вдоль главной диагонали. Из приведенной матрицы 
«блочно-диагонального» вида и выражения (6.8.5) получаем следующее множество уравнений:
(5)
где
(6.8.6)
— ортогональные матрицы, т. е. 
. Выражение (6.8.6) приводит к выводу, что
и
(6.8.7)
Выражения, стоящие в правой части уравнения (6.8.7), не зависят от l и, следовательно, инвариантны относительно циклических сдвигов 
. Другими словами, эти выражения представляют энергетический спектр ПУА, упорядоченный по Адамару, при 
. В общем случае энергетический спектр определяется следующим образом:
(6.8.8)
Из (6.8.8) следует, что энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару 
содержит 
точек.
Вычислительные соображения. При соответствующем изменении БПУА с упорядочением по Адамару 
энергетический спектр можно определить без вычисления всех фактических коэффициентов 
. Соответствующие изменения приводятся для случая 
. Из графа БПУА с упорядочением по Адамару (см. рис. 6.2) следует, что
(6.8.9)
Так как матрица 
— ортогональна, то из (6.8.9) следует
Энергетический спектр при этом можно выразить через элементы исходной последовательности
(6.8.10)
Рис. 6.8. Граф вычисления спектра мощности ПУА с упорядоче нием по Адамару, 
Обобщение приведенной выше модификации БПУА с упорядочением по Адамару приводит к следующему общему выражению энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару:
(6.8.11)
Граф, соответствующий (6.8.11) при 
, показан на рис. 6.8.
