ЗАДАЧИ

8.1. Если дано и

докажите, что

8.2. Пользуясь выражениями, начиная с (8.2.3), выведите выражение (8.2.4) с помощью соотношения .

8.3. Пусть Т матрица преобразования, элементами которой являются такие комплексные числа, при которых . При этом определение матрицы (8.2.3) изменяется следующим образом:

где — вектор-столбец, комплексно-сопряженный F. С помощью введенных выше соотношений докажите, что (8.2.4) превращается при этом в , где определяется из (8.2.1).

8.4. Пусть — случайный вектор размером 2, при котором

Покажите, что

8.5. С помощью и выражений (8.3.11) и (8.3.12) выведите выражение (8.3.19), т. е. покажите, что

8.6. Пусть дана матрица преобразования

а) Убедитесь, в том, что она ортонормирована, т. е.

б) Если , то покажите, что

В более общем виде выражение можно записать в виде теоремы: если Q — действительная симметрическая матрица, а Т — такая, что , то

т. е. след матрицы Q инвариантен по отношению к ортогональным преобразованиям.

8.7. Из выражения (8.3.3) известно, что .

а) Докажите, что

б) С помощью выражений, начиная с (8.3.20), выведите выражение (8.3.22). Примечание. Пользуйтесь выражениями и (8.3.15).

8.8. Собственные значения матрицы

равны и , докажите, что соответствующие нормированные векторы равны

8.9. Пусть дана симметрическая матрица

Докажите, что , где - собственные значения .

Ответ. .

Примечание. В общем случае для действительной симметрической матрицы Q размером с собственными значениями справедливо выражение