3.7. Мгновенный спектр Фурье

Если — сигнал с полосой В Гц, то соответствующий ему дискретный сигнал определяется как

где отсчет и . Преобразование Фурье сигнала определяется как

(3.7.1)

Теперь покажем, что спектр мощности и фазовый спектр, соответствующие , могут быть вычислены реккурентно в моменты времени . Следовательно, спектр, полученный в результате такого вычисления, можно называть мгновенным спектром Фурье [7—9]. Будем предполагать, что необходимо знать спектры на множестве частот . Допустим,

что означает сигнал, который является зеркальным отображением т. е.

(3.7.2)

Преобразование Фурье при определяется как

(3.7.3)

Можно показать [см. приложение 3.1], что спектры мощности и фазовые спектры сигналов и связаны следующими соотношениями:

и

(3.7.4)

Рекуррентный способ вычисления спектров и . Из (3.7.3) имеем

(3.7.5)

где

и

Запишем в виде вектора размером

(3.7.6)

Теперь рассмотрим матрицу размером

Можно показать, что матрица является ортогональной (см. задачу 3.9) и, следовательно, обладает следующим свойством:

где означает степень . Таким образом, из

Из этого выражения следует, что

(3.7.16)

где коэффициент ДПФ. Объединяя выражения (3.7.15) и (3.7.16), получаем следующие выражения для мгновенного спектра мощности и фазового спектра ДПФ:

(3.7.17)

и

где . Полученное выше выражение для мгновенного спектра позволяет проследить характер изменения спектра, дискретного

Рис. 3.4. Мгновенный энергетический спектр затухающей синусоиды с частотой 4 Гц

сигнала по мере обработки соответствующей временной последовательности данных .

Это можно проиллюстрировать с помощью следующего конкретного числового примера.

Пример 3.7.1. Рассмотрим последовательность данных

которая получается в результате дискретизации по времени со скоростью 26 отсчетов в секунду затухающей синусоиды частотой 4 Гц, т. е. с. Необходимо определить мгновенный спектр мощности , на множестве из 20 частот, которые равномерно отстоят друг от друга по логарифмической шкале и определяются набором чисел: 1,55; 1,74; 1,96; 2,20; 2,48; 2,79; 3,14; 3,53; 3,97, 4,47; 5,03; 5,65; 6,36; 7,15; 8,05; 9,06; 10,19; 11,46; 12,89}. Результаты вычислений в виде двумерной таблицы «время—частота—амплитуда» приведены на рис. 3.4. Представленные в таблице значения сначала были пронумерованы с помощью некоторого нормирующего множителя, а затем выражены в децибелах. Полученные таким образом значения обозначены . Пояснение таблицы лучше всего провести с помощью следующих примеров:

i) и означает, что больше на 6 дБ.

ii) и означает, что больше на 13 дБ.

Для удобства минимальное значение было ограничено величиной . На частоте 3,97 Гц и примыкающих к ней частотах мощность значительно выше мощности на других частотах. Очевидно, это и следовало ожидать, поскольку дискретный сигнал является затухающей синусоидой с частотой 4 Гц.