3.4. Соотношение между ДПФ, преобразованием Фурье и рядом Фурье

Пусть представляет собой такой действительный сигнал длительностью L с, что ряд Фурье его периодического продолжения не содержит гармоник с номером выше . Так как , то полосу сигнала В можно выразить как

(3.4.1)

Согласно теореме отсчетов [см. выражение (2.6.17)] и выражению (3.4.1) может быть представлено N равноотстоящими отсчетными значениями , такими что

(3.4.2)

где — расстояние между отсчетами, и .

Обозначим дискретное представление сигнала через , которое по существу можно рассматривать как последовательность дельта-функций, показанная на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Дискретное представление

Дельта-функция при имеет интенсивность . Таким образом, записывается как

(3.4.3)

где — дельта-функция Дирака.

Связь с преобразованием Фурье. Вычисляя преобразование Фурье , определяемого выражением (3.4.13), получаем

(3.4.4)

или

Выражение (3.4.5) определяет для всех значений . Однако если интересоваться значениями только на множестве дискретных точек, то выражение можно записать как

(3.4.6)

где . Заметим, что в выражении (3.4.6) . Таким образом, без потери общности выражение (3.4.6) можно записать как

(3.4.7)

Так как и , то выражение (3.4.7) записывается как

(3.4.8)

где . Сопоставляя выражения (3.4.8) и (3.1.1), получаем необходимое соотношение

(3.4.9)

Связь с рядом Фурье. Согласно рис. 3.1 разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:

где . Подставляя (3.4.3) в выражение (3.4.10), получаем

или

Подставляя и в выражение (3.4.11), получаем

(3.4.12)

Из сравнения выражений (3.4.12) и (3.1.1) можно заключить, что связано с коэффициентами разложения в ряд Фурье следующими соотношениями:

(3.4.13)