10.10. Квадратичные классификаторы [2]

В приведенных выше рассуждениях, касающихся классификаторов по минимуму расстояния, ограничивались рассмотрением только линейных классификаторов, т. е. классификаторов, которые обладают линейными разделяющими границами в пространстве признаков. Соответствующую процедуру обучения можно легко получить для случая квадратичных разделяющих границ. При этом реализация классификатора усложняется. Квадратичный классификатор определяется дискриминантными функциями

(10.10.1)

Из выражения (10.10.1) следует, что квадратичная дискрими-нантная функция имеет весовых коэффициентов или параметров, а именно:

параметров, соответствующих коэффициентам при

параметров, соответствующих коэффициентам при

параметров, соответствующих коэффициентам при

порог, не являющийся коэффициентом

Приведенные выше параметры определяются в процессе обучения. Для пояснения реализации классификатора, связанного с выражением (10.10.1), определим -мерный вектор G, координаты которого являются функциями . Первые d координат вектора G имеют вид ; следующие координат соответствуют всем парам последние d координат представляют собой .

Рис. 10.21. Реализация квадратичного классификатора

Общее число координат равняется . Определяется это соответствие как , где — взаимооднозначное преобразование. Таким образом, для каждого образа .

в -мерном пространстве существует единственный вектор в -мерном пространстве. Такое взаимооднозначное соответствие позволяет записать в виде линейной функции координат G, т. е. для каждой квадратичной дискриминантной функции по Z существует соответствующая линейная дискри-минантная функция от G. Таким образом, выражение (10.10.1) можно записать в виде

(10.10.2)

Реализация квадратичного классификатора, соответствующая в выражении (10.10.2), приведена на рис. 10.21.