ЗАДАЧИ

6.1. Используя сигнальные графы, изображенные на рис. 6.2 и 6.6, показать, что и можно факторизовать следующим образом:

6.2. Если , то в соответствии с примером 6.5.1

получим

а) Показать, что энергетический и фазовый спектры ПУА с упорядочением по Уолшу последовательности определяются из следующих выражений:

б) Пользуясь приведенными выше энергетическим и фазовым спектрами, показать, как можно восстановить последовательность .

6.3. Общая рекуррентная формула для тождественного преобразования, соответствующего в выражении (6.8.4), была получена Онзоргом [27]:

и — вектор размером , который совпадает с последним столбцом матрицы Адамара .

Пользуясь приведенной выше рекуррентной формулой, покажите, что

6.4. Пусть дана последовательность .

а) Использовать БПУА с упорядочением по Уолшу для получения

б) Найти энергетический спектр ПУА с упорядочением по Уолшу для последовательности .

Ответ. и .

в) Пусть -последовательность, полученная из в результате диадического сдвига размерностью 3. Тогда (см. табл. 6.6.1) . С помощью БПУА с упорядочением по Уолшу показать, что ПУА с упорядочением по Уолшу последовательности имеет вид

г) Покажите, что энергетический спектр ПУА с упорядочением по Уолшу последовательности такой же, как и последовательности .

6.5. а) Разложите последовательность данных на такие четыре взаимно ортогональные последовательности, при которых

где имеет единичный период, и соответственно 1-, 2- и -косопериодичны.

Ответ.

б) Из примера 6.3.1 известно, что . Пользуясь этой информацией, вычислите энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару и .

в) Убедитесь в том, что -средняя мощность в , а — средняя мощность .

6.6. а) — ортогональная матрица, при которой , где с — константа. Если обозначает степень , покажите, что также является ортогональной для любого натурального числа .

б) Убедитесь в том, что выражение (6.9.12) можно выразить в следующей компактной форме: и , где .

6.7. В этой задаче доказывается интересное свойство фазового спектра ПУА с упорядочением по Адамару при .

Рассмотрим последовательность данных с периодом 8: . Пусть — последовательность, полученная из в результате левого циклического сдвига на l позиций, т. е.

где .

Вычислить фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару для последовательности , и показать, что он изменяется в соответствии с приведенной ниже таблицей.

Таблица

Примечания. 1) не изменяется при изменении является -косопериодичной при , при изменении l от 0 до 7.

Комментарий. Последнее свойство сохраняется для любого , является -косопериодичной, , по мере того как l меняется от 0 до .

6.8. Пусть дан массив данных

а) Покажите, что двумерное ПУА с упорядочением по Адамару имеет вид

б) Расположите столбцы в виде вектора размерностью 8:

С помощью одномерного БПУА с рядочением по Адамару вычислите . Убедитесь в том, что

Рис. 6.14. Диадические сдвиги

6.9. На рис. 6.15 изображены функции , которые получаются из функции , показанной на рис. 6.14 в результате диадических сдвигов. Определите величины .

Примечание. При этом необходимо пользоваться данными табл. 6.6.1,

6.10. Пусть дана экспоненциально убывающая последовательность . Используйте БПУА с упорядочением по Адамару, программа которого приведена в приложении 6.1, для вычисления энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару для указанной последовательности.

Рис. 6.15. Диадические сдвиги ступенчатой функции

Ответ.

6.11. Внесите такие изменения в подпрограмму ПУА с упорядочением по Уолшу и по Адамару, приведенную в приложении 6.1, чтобы с ее помощью можно было вычислять соответствующие двумерные преобразования. Затем используйте двумерное ПУА с упорядочением по Уолшу и по Адамару для определения преобразования массива данных

где .

6.12. Повторите задачу 6.11 для

где .

6.13. Матрицы преобразований и можно факторизовать следующим образом:

Рис. 6.16. Граф БПУА с упорядочением по Адамару,

где получается в результате перестановки столбцов в двоично-инвертированном порядке. Напишите множители в сигнальных графах, изображенных на рис. 6.16 и 6.17 для вычисления указанных выше преобразований Уолша—Адамара. Подсчитайте число умножений и , необходимых для выполнения вычислений в соответствии с этими сигнальными графами.

6.14. По аналогии с разреженными матрицами для и (см. задачу 6.13) запишите факторизацию разреженных матриц для матриц преобразования и . Получите обобщение для и для любых .

Рис. 6.17. Граф БПУА с упорядочением по Уолшу,

6.15. а) Исходя из множителей, записанных на сигнальном графе МПУА (см. рис. 6.12), записать факторизацию матрицы преобразования [см. выражение (6.10.3)] в виде разреженных матриц.

б) Повторить пункт для обратного МПУА (см. рис. 6.13). Убедитесь в том, что произведение разреженных матриц дает в результате .

6.16. Матрица преобразования может быть факторизована следующим образом:

Нарисуйте полный сигнальный граф для эффективного вычисления МПУА . Подсчитайте число умножений и , необходимых для выполнения вычислений в соответствии с нарисованным графом.

6.17. Повторите задачу 6.16 для ОМПУА,

6.18. По аналогии с факторизацией и запишите факторизацию . Запишите правила факторизации для любого

6.19. Нарисуйте сигнальный граф для , аналогичный графу, изображенному на рис. 6.10.