7.2. Обобщенное преобразование [4, 5]

Из приведенного в предыдущем параграфе рассмотрения следует, что при заданной входной последовательности можно определить множество из дискретных ортогональных преобразований. Этот класс преобразований начинается с ПУА с упорядочением по Адамару и заканчивается ДПФ. Таким образом, если обозначает коэффициент -го преобразования, , то обобщенное преобразование можно определить как

(7.2.1)

где ; — матрица преобразования, которую можно записать в виде произведения разреженных матриц , т. е.

(7.2.2)

где . Матричный множитель можно получать рекуррентно следующим .

где

(7.2.3)

Символ обозначает кронекеровское произведение матриц; - десятичное число, получаемое в результате двоичной инверсии ()-разрядного двоичного представления ; т. е. если есть ()-разрядное двоичное представление , то .

Входная последовательность восстанавливается с помощью обратного обобщенного преобразования , которое определяется как

(7.2.4)

где — транспонированная матрица, комплексно-сопряженная матрице . Обратное обобщенное преобразование получается из выражения (7.2.1) как следствие свойства . Из выражения (7.2.2) получаем

(7.2.5)

где — транспонированная матрица, комплексно-сопряженная матрице .

Матрицы преобразования также можно получить рекуррентно [6, 7], т. е.

что соответствует выражению (5.4.10). Для

(7.2.6)

а подробно рассмотрены в [6]. Например, рекуррентное соотношение для имеет вид

(7.2.7)

где

Подведем итоги обсуждения обобщенного преобразования и обратного обобщенного преобразования :

i) при получаем ПУА с упорядочением по Адамару;

ii) при получаем комплексное BIFORE преобразование (СВТ);

iii) при получаем коэффициенты ДПФ, расположенные в двоично-инвертированном порядке, т. е.

(7.2.8)

где — десятичное число, полученное в результате двоичной инверсии -разрядного двоичного представления числа ;

iv) при изменении от 2 до получаем еще дополнительных ортогональных преобразований;

v) сложность обобщенного преобразования возрастает по мере увеличения , в том смысле, что для вычисления коэффициентов преобразования требуется все большее число степеней W (см. табл. 7.2.1).

Таблица 7.2.1. Описание элементов обобщенных преобразований