4.8. Некоторые приложения

В данном разделе обсуждаются некоторые приложения алгоритма БПФ и прибодится несколько примеров [1, 5, 10—12].

Вычисление амплитудного и фазового спектра. Пусть — экспоненциально убывающий сигнал , , и

буется с помощью ДПФ найти его амплитудный и фазовый спектры. Для применения алгоритма БПФ сигнал следует продискретизировать и из полученной последовательности надо взять N таких дискретных значений сигнала, при которых . Рассмотрим, например, случай для экспоненциально убывающей последовательности

(4.8.1)

где Т — интервал дискретизации и . Амплитудный и фазовый спектры определяются как

(4.8.2)

(4.8.3)

где и — действительная и мнимая части . Использование алгоритма БПФ позволяет получить спектры, изображенные на рис. 4.7 (амплитудный спектр нормирован).

Рис. 4.7. Амплитудный и фазовый спектры ДПФ для экспоненциально убывающей последовательности

Из рис. 4.7 следует, что в соответствии с теоремой о комплексной сопряженности [см. формулу (3.2.2)] амплитудный спектр имеет независимых спектральных составляющих . Нечетной функцией относительно точки при является [см. задачу 3.6]. Переменная к иногда называется «номером частоты». При основной частоте полоса частот предполагается равной .

Пользуясь данными рис. 4.7, построим графики, изображенные на рис. 4.8, представляющие собой амплитудный и фазовый спектры последовательности .

Рис. 4.8. Амплитудный и фазовый спектры Фурье для экспоненциальной убывающей последовательности

Вычисление корреляционной последовательности. Если и — две действительные последовательности с периодом N, то последовательность , полученная в результате их корреляции, определяется по формуле

(4.8.4)

Теорема корреляции [см. формулу (3.2.16)] дает формулу

(4.8.5)

Рис. 4.9. Последовательность вычислений для получения

из которой следует, что можно вычислить с помощью БПФ, как показано на рис. 4.9. В качестве примера на рис. 4.10 приведена последовательность , полученная в результате автокорреляции экспоненциально убывающей последовательности [см. формулу (4.8.1)].

Рис. 4.10. Автокорреляционная функция экспоненциально убывающей последовательности

Вычисление свертки. Последовательность , полученная в результате свертки двух действительных последовательностей и с периодом N, определяется по формуле

(4.8.6)

Из теоремы свертки [см. формулу (3.2.11)] получаем

(4.8.7)

Из (4.8.7) следует, что БПФ можно использовать для вычисления , как показано на рис. 4.11. Свертка экспоненциально убывающей последовательности с самой собой дает последовательность, изображенную на рис. 4.12.

Рис. 4.11. Последовательность вычислений для получения

Частный случай. Рассмотрим случай, когда последовательности, по отношению к которым применяется операция свертки, являются и обозначаются как и .

Свертка этих последовательностей определяется из выражения

(4.8.8)

где . Последовательность можно получить с помощью БПФ следующим образом [13].

Рис. 4.12. Свертка экспоненциально убывающей последовательности

1) Пусть N — наименьшая степень 2 большая, чем .

2) Образуем такие последовательности и с периодом N, при которых

и

3) Применяем БПФ для вычисления сверточной последовательности периодических последовательностей и , где

(4.8.11)

4) Получаем требуемую последовательность с помощью соотношения

(4.8.12)

рассмотрим пример при и . Тогда и формулы (4.8.9) и (4.8.10) дают

и

Подставляя (4.8.13) и (4.8.14) в формулу (4.8.6), получаем матричное выражение [см. формулу (3.3.8)]

(4.8.15)

Последовательность , вычисляется с помощью восьмиточечного алгоритма БПФ, и, следовательно, искомая последовательность получается из формулы (4.8.12). Из приведенных выше рассуждений следует, что БПФ можно использовать подобным же образом для определения взаимной корреляции двух апериодических последовательностей.

Синтез сигналов. Алгоритм БПФ можно использовать для синтеза -периодического продолжения дискретного сигнала (рис. 4.13) по его заданному амплитудному и фазовому спектрам.

Рис. 4.13. Периодическое (с периодом L) продолжение сигнала, предназначенного для синтеза

Пусть даны и , где N — степень 2 и . Из § 3.4 следует, что можно получить следующим образом:

(4.8.16)

2) определим , где , ;

3) используем ОБПФ для вычисления

Рассмотрим пример для значений . При в предположении описанная выше процедура приводит к виду сигнала , изображенному на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Синтезированный сигнал