ГЛАВА 6. Преобразование Уолша—Адамара

Глава 6 посвящена изучению преобразования Уолша—Адамара (ПУА), которое является наиболее известным среди несинусоидальных ортогональных преобразований. Преобразование Уолша—Адамара широко применяется при цифровой обработке сигналов, так как оно может быть вычислено только с использованием сложений и вычитаний. Вследствие этого и аппаратурная реализация ПУА также проще.

Приводятся алгоритмы для быстрого вычисления ПУА и вводится понятие спектра Уолша. Изучаются свойства спектра Уолша и дается его физическая интерпретация. На протяжении всей главы проводится аналогия между ПУА и ДПФ.

6.1. Представление сигналов в виде ряда Уолша

Прежде чем приступить к выводу различных алгоритмов реализации ПУА, полезно изучить некоторые аспекты, связанные с представлением непрерывного сигнала в виде ряда Уолша. При этом предполагается, что определен на полуоткрытом единичном интервале .

Как известно [1], множество функций Уолша замкнуто. Это означает, что любой сигнал , который абсолютно при , можно представить в виде ряда Уолша

Так как множество функций образует ортонормальную систему в замкнутом интервале , то коэффициент

определяется как

(6.1.2)

Напомним, что [см. выражение (5.4.3)]

-четное;

- нечетное,

где — частость функции , определяемая как [см. выражение (5.4.2)]

Если выразить через составляющие и , то выражение (6.1.1) принимает вид

(6.1.3)

где .

Для получения конечного ряда, содержащего слагаемых, приведенный выше ряд обрывается, в результате чего получаем

(6.1.4)

Условия сходимости ряда (6.1.4) были приведены Уолшем [1], Пэли [2], Файном [3]:

i) Если непрерывен при , то ряд сходится равномерно к , т. е.

(6.1.5)

Таким образом, существует некоторое , при котором все и при меньше, чем любое наперед заданное . Если не учитывать эти коэффициенты при разложении в ряд Уолша, то теряется незначительная информация.

ii) В точках разрыва , лежащих в , ряд сходится в среднем квадратическом.

Из приведенного рассмотрения видно, что представление сигналов в виде ряда Уолша аналогично представлению их в виде ряда Фурье, рассмотренному в § 2.1. Этого и следовало ожидать из-за сильного сходства между синусоидами и функциями Уолша, что показано на рис. 6.1 для случая .

В следующем разделе приводится преобразование Уолша — Адамара, которое аналогично дискретному преобразованию Фурье (ДПФ). Преобразование Уолша — Адамара используется для представления последовательностей. При этом базисные функции представляют собой дискретные функции Уолша, которые можно выразить с помощью матриц Адамара . Эти матрицы можно получить по следующему рекуррентному правилу [см. формулу (5.4.10)]:

(6.1.6)

где и . Например, при и выражение (6.1.6) дает

Непосредственно можно показать, что матрицы обладают следующими свойствами:

i) — симметрическая матрица, т. е.

(6.1.7)

где штрих обозначает операцию транспонирования;

Рис. 6.1. Функции Уолша и гармоники Фурье

ii) — ортогональная матрица, т. е.

где — единичная матрица размером

iii) матрица, обратная , пропорциональна матрице

где — матрица, обратная .