7.5. Пилообразные матрицы

Понятие ортогонального преобразования, основанного на «пилообразных» базисных векторах, было введено Эномото и Шибата [11]. Пилообразный вектор представляет собой результат дискретизации пилообразной волны, убывающей равномерными шагами вдоль ее длины, как показано на рис. 7.4. Пилообразные векторы можно эффективно использовать для представления постепенного изменения яркости вдоль строки изображения. В работе Эномото и Шибата были приведены пилообразные векторы размером 4 и 8. Обобщение, предложенное Праттом, Уэлчем и Ченом [12, 13], привело к определению пилообразного преобразования, которое успешно используется при кодировании изображений [12—15].

Рис. 7.4. Пилообразный сигнал при и шаге, равном 2

Получение матриц пилообразных функций. Если через обозначить матрицу , образованную пилообразными базисными векторами, то

(7.5.1)

Пилообразная матрица для может быть записана как

(7.5.2)

где а и b — действительные константы, которые определяются исходя из следующих условий: 1) шаг убывания — постоянен и 2) — ортогональна. Величина шага между первыми двумя элементами пилообразного вектора [см. вторую строку ] равна

(7.5.3)

а величина шага между вторым и третьим элементами равна

, (7.5.4)

что приводит к . Отсюда

(7.5.5)

Пользуясь условием ортогональности

получаем . Таким образом, матрица пилообразных векторов в выражении (7.5.2) принимает вид

(7.5.6)

Матрица обладает свойством упорядоченности по частости, т. е. частости ее строк равны соответственно 0, 1, 1 и 2, что совпадает с частостями соответствующих строк матриц Адамара, упорядоченной по Уолшу:

Наконец, можно выразить через следующим образом:

где и . Подобным же образом можно выразить через :

где и — константы. В пилообразный вектор получается простой операцией масштабирования , а остальные компоненты служат для получения свойств упорядочения по частости и ортогональности. Выражение (7.5.7) можно обобщить для получения матрицы пилообразных векторов размерностью N с помощью соответствующей матрицы размером , что записывается как

(7.5.8)

где — единичная матрица размером . Коэффициенты можно вычислить по следующим формулам [12]:

(7.5.9)