6.11. Циклическая и диадическая корреляция (свертка)

Пусть и — две вещественнозначные -периодические последовательности данных. Можно вывести некоторые свойства диадической корреляции (свертки) для ПУА с упорядочением по Уолшу, которые аналогичны подобным свойствам циклической коррелят и (свертки) для ДПФ [20—22]. Эти свойства сведены в табл. 6.11.1.

Теорема о циьлической автокорреляции для ПУА с упорядочением по . В табл. 6.11.1 приведено свойство циклической автокорреляции для ДПФ

Таблица 6.11.1. Свойства ДПФ и ПУА, упорядоченного по Уолшу, связанные с корреляцией/сверткой

(6.11.1)

Так как соответствует спектральной составляющей ДПФ, то (6.11.1) означает, что ДПФ циклической автокорреляционной последовательности дает циклических инвариантов. Можно показать, что ПУА с упорядочением по Адамару обладает аналогичным свойством, которое основывается на использовании понятия -спектра, определяемого выражением (6.10.18). Подробное доказательство этой теоремы приведено в [19, 23].

Теорема циклической автокорреляции для ПУА с упорядочением по Адамару может быть сформулирована следующим образом:

(6.11.2)

где

— вектор, представляющий циклическую автокорреляционную последовательность. Например, при выражение (6.11.2) приводит к

где -матрица, определяемая из выражения (6.10.3). Из выражения (6.10.2) следует, что МПУА циклической автокорреляционной последовательности приводит к множеству независимых -спектральных составляющих, инвариантных относительно циклических сдвигов , подобно тому как в случае ДПФ инвариантны энергетические спектральные составляющие . Однако -спектр нельзя интерпретировать как энергетический спектр, поскольку некоторые могут быть отрицательными. Физическая интерпретация -спектра приведена в [19] и [23].