1.4. Содержание книги

Книга содержит десять глав, из которых в первых семи главах приводятся основные сведения теории дискретных ортогональных преобразований. В последних трех главах рассматриваются конкретные приложения.

В главе 2 дается обзор методов Фурье-представления сигналов. В ней также рассматривается систематический переход от Фурье-представлений непрерывных сигналов к Фурье-представлениям цифровых сигналов.

В главе 3 вводится понятие дискретного преобразования Фурье как одной из форм Фурье-представления дискретных и цифровых сигналов. В этой связи свойства дискретного преобразования Фурье изучаются параллельно со свойствами ряда и преобразования Фурье. Дан вывод рекурсивного алгоритма вычисления спектра Фурье. В главе 4 дается подробный вывод алгоритма быстрого преобразования Фурье, позволяющего эффективно вычислять дискретное преобразование Фурье. На конкретных числовых примерах проиллюстрированы различные приложения быстрого преобразования Фурье.

В главе 5 приводятся класс несинусоидальных ортогональных функций и соответствующая система обозначений. Поясняется понятие секвентности как обобщения понятия частоты. Материал этой главы используется в гл. 6 и 7 при выводе различных несинусоидальных ортогональных преобразований.

В гл. 6 подробно исследуется преобразование Уолша-Адамара. Приводятся алгоритмы вычисления этого преобразования; даются определения амплитудного и фазового спектров и сравнение их с соответствующими дискретными спектрами Фурье. Кроме того, анализируется соответствие преобразований Уолша-Адамара и дискретных преобразований Фурье.

В главе 7 рассматриваются другие преобразования: обобщенное преобразование Уолша-Адамара, преобразование Хаара, дискретное косинусное преобразование, пилообразное преобразование. Приводятся алгоритмы быстрых вычислений этих преобразований. Показано, как с помощью обобщенного преобразования Адамара-Уолша осуществляется систематический переход к дискретному преобразованию Фурье. Исследование пилообразного преобразования, преобразования Хаара и дискретного косинусного преобразования оправдано тем, что эти преобразования применяются в некоторых приложениях, рассматриваемых в последующих главах.

В главе 8 описывается классический метод обработки сигналов с помощью ортогональных преобразований, так называемая вине-ровская фильтрация. Показано, что ортогональные преобразования могут быть использованы для расширения винеровской фильтрации при обработке цифровых сигналов, особенно для уменьшения сложности вычислений.

В главе 9 обсуждается применение ортогональных преобразований при сжатии данных. В связи с этим выводится оптимальное ортогональное преобразование — преобразование Карунена-Лоэ-ва. Использование этого преобразования для сжатия данных проиллюстрировано примерами, взятыми из области обработки изображений и обработки электрокардиограмм.

В главе 10 рассматривается применение ортогональных преобразований с целью отбора признаков при распознавании образов. Главная задача данной главы в том, чтобы показать, как использование ортогональных преобразований позволяет существенно уменьшить количество необходимых признаков при сравнительно незначительном увеличении ошибок классификации. В связи с этим приводятся некоторые простые алгоритмы классификации и рассматривается возможность их реализации.