6.2. Преобразование Уолша—Адамара, упорядоченное по Адамару
Это преобразование также иногда называется BIFORE преобразованием. Определение BIFORE было введено Онсоргом [4].
Преобразование 
можно записать в матричных или показательных выражениях.
Матричное определение. Пусть 
— последовательность 
с периодом N, 
, состоящая из конечных действительных чисел что записывается как
(6.2.1)
Последовательность 
записывается в виде 
-мерного вектора 
следующим образом:
(6.2.2)
где 
обозначает транспонированный вектор 
. Преобразование Уолша-Адамара, упорядоченное по Адамару 
, последовательности 
определяется как
(6.2.3)
где 
обозначает 
коэффициент 
, а 
. Из (6.1.9) и (6.2.3) следует, что обратное преобразование Уолша — Адамара, упорядоченное по Адамару 
, определяется следующим образом:
(6.2.4)
Так как фурмулы (6.2.3) и (6.2.4) образуют пару преобразований, то представление 
с помощью 
однозначно. Приведем простой пример.
Пример 6.2.1. Пусть 
. Тогда 
, и из (6.2.3) получаем
(6.2.5)
Подставляя в явном виде 
, получаем
(6.2.6)
Вычисления по (6.2.6) приводят к коэффициентам 
.
Чтобы убедиться в однозначности преобразования, описываемого (6.2.6), подставим 
в (6.2.4). В результате получим
(6.2.7)
Проведя вычисления по (6.2.7), получим исходную последовательность 
.
В матричной форме эти уравнения выражаются как
что эквивалентно матричному определению преобразования Уолша— Адамара 
, при 
.
Обратное преобразование Уолша — Адамара 
соответствующее 
определяется из (6.2.8) как
(6.2.12)
можно также записать в виде
(6.2.8)
и 
являются коэффициентами двоичного представления и 
соответственно, т. е. для каждого десятичного числа 
можно записать
(6.2.9)
0 или 1, 
. Таким же образом каждое десятичное число 
выражается в виде
(6.2.10)
0 или 1, 
. Полезно показать на примере 
, что матричное и показательное определения эквивалентны. Из формулы (6.2.8) следует
. (6.2.11)
, надо получить матрицу показателей 
, как показано ниже
и формулы (6.2.11) следует
