5.3. Функции Радемахера и Хаара

Функции Радемахера, рассмотренные им в 1922 г. [4], представляют собой неполную систему ортонормированных функций. Функция Радемахера с индексом , обозначаемая , имеет вид последовательности прямоугольных импульсов и содержит периодов на полуоткрытом интервале [0,1), принимая значения или (рис. 5.3). Исключение составляет функция , которая имеет вид единичного импульса.

Рис. 5.3. Функции Радемахера

Функции Радемахера — периодические с периодом 1, т. е. .

Кроме того, они обладают периодичностью и на более коротких интервалах [5]: . Функции Радемахера можно получить с помощью рекуррентного соотношения .

где

(5.3.1)

Множество функций Хаара образующих периодическую, ортонормированную и полную систему функций [5, 15—17], было предложено им в 1910 г. [6]. На рис. 5.4а изображены первые восемь функций Хаара.

Рис. 5.4. Непрерывные функции Хаара (а) и дискретные функции Хаара (б) при

Рекуррентное соотношение, позволяющее получить , имеет вид [7]

(5.3.2)

где .

Дискретизация системы функций Хаара, показанных на рис. 5.4а, приводит к матрице, изображенной на рис. 5.4б, каждая строка которой является дискретной функцией Хаара .

Полученные таким образом матрицы используются для преобразования Хаара и обозначаются , где .