ГЛАВА 5. Класс ортогональных функций

В данной главе рассматривается класс несинусоидальных ортогональных функций, к которому относятся: 1) функции Радемахера, 2) функции Хаара и 3) функции Уолша. Эти ортогональные функции состоят из квадратных или прямоугольных волн. Отдельные функции, принадлежащие множеству описанных выше функций, различаются с помощью параметра, определяемого термином «частость». Рассматриваются также некоторые вопросы, связанные с представлением несинусоидальных ортогональных функций.

Необходимость изучения указанного выше класса функций связана с тем, что они будут в дальнейшем использоваться при описании преобразований Хаара, Уолша—Адамара и модифицированного преобразования Уолша—Адамара. Эти преобразования будут рассмотрены в следующих двух главах.

5.1. Определение частости

Понятие частоты применимо к множеству синусоидальных (периодических) функций, точки пересечения нулевого уровня которых равномерно распределены по интервалу. Этот параметр обозначается f и позволяет различать отдельные функции, принадлежащие множествам и , и интерпретируется как число полных периодов (или половина числа пересечения нулевого уровня) синусоидальной функции в секунду.

Обобщенная частота может быть определена как половина среднего числа пересечений нулевого уровня в секунду [1]. Хармут [2] ввел термин «частость» при описании обобщенной частоты и применил его для различения функций, точки пересечения нулевого уровня которых распределены неравномерно по интервалу и которые не обязательно являются периодическими. В случае синусоидальных функций понятие частости совпадает с понятием частоты. Пользуясь приведенным выше определением периодических и непериодических функций, получим:

i) частость периодической функции равна половине числа пересечений нулевого уровня в секунду,

ii) частость непериодической функции равна половина числа пересечений нулевого уровня в секунду, если этот предел существует.

Для иллюстрации рассмотрим непрерывные функции и приведенные на рис. 5.1, которые определены на полуоткрытом интервале .

Рис. 5.1. Определение частости непрерывной функции

Каждая функция имеет четыре пересечения нулевого уровня на интервале, и, следовательно, частость каждой из них равна двум. Подобно тому как частота измеряется числом периодов в секунду (герцах), частость определяется числом пересечений нулевого уровня в секунду; для нее можно использовать сокращение .

Приведенное выше определение частости можно с небольшими изменениями применять к соответствующей дискретной функции получаемой из с помощью равномерной дискретизации. Если число перемен знака в секунду функции равно , то частость определяется как или при четном или нечетном соответственно. Рассмотрим дискретные функции и полученные в результате дискретизации функций, приведенных на рис. 5.1, при расположении отсчетов в восьми равноотстоящих точках (рис. 5.2). Из рис. 5.2 видно, что и . Таким образом, частость каждой из функций и равна 2, как и в случае и .

Рис. 5.2. Определение частости дискретной функции