3.2. Свойства ДПФ

Подробное обсуждение свойств ДПФ можно найти в [2,4]. Ниже рассмотрены те из этих свойств, которые понадобятся в дальнейшем.

Теорема линейности. Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, т. е. если и , то

(3.2.1)

Теорема комплексной сопряжгнности. Если — такая последовательность действительных чисел, что — целое число и , то

(3.2.2)

где является величиной, комплексно-сопряженной .

Доказательство. означает, что

так как . Таким образом, , . Это означает, что коэффициент всегда действительный.

Теорема сдвига. Если и

(3.2.3)

то

(3.2.4)

Доказательство. , т. е.

из этого следует, что

Допустим . Тогда согласно (3.2.6) получаем

(3.2.7)

Из выражений (3.1.7) и (3.2.7) следует, что , а это и требовалось доказать. Аналогично при , можно доказать, что

(3.2.8)

Теорема свертки. Если и — последовательности действительных чисел, при которых

(3.2.9)

а свертки этих последовательностей определяются как

то

Доказательство. Вычисляя , получаем

(3.2.13)

Согласно теореме сдвига имеем

(3.2.14)

Таким образом, из выражений (3.2.13) и (3.2.14) следует, что

Выражение (3.2.11) аналогично соотношению (2.5.21), которое выражает теорему свертки для случая представления сигналов в виде рядов Фурье. Эта теорема утверждает, что свертка временных последовательностей эквивалентна умножению их коэффициентов ДПФ.

Теорема корреляции. Если и — последовательности действительных чисел, при которых , а их функция корреляции определяется соотношением

(3.2.15)

то

(3.2.16)

Доказательство. По определению имеем

(3.2.17)

Подставляя (3.2.15) в выражение (3.2.17) и меняя порядок суммирования, получаем

(3.2.18)

Применяя теорему сдвига [см. выражение (3.2.4)] к выражению (3.2.18), получаем

(3.2.19)

Теперь

означает, что

(3.2.20)

Следовательно, из выражения (3.2.19) следует , , что и требовалось доказать.

Комментарий. Если последовательности и идентичны друг другу, то выражение (16) сводится к следующему:

Как и ранее, ОДПФ последовательности есть

(3.2.22)

Подставляя (3.2.15) и (3.2.21) в выражение (3.2.22), получаем

(3.2.23)

В частном случае при это выражение сводится к

(3.2.24)

Сравнивая выражения (3.2.24) и (2.5.17), нетрудно убедиться, что (3.2.24) выражает теорему Парсеваля для временной последовательности .

Пример 3.2.1. Рассмотрим две последовательности с периодом, равным четырем:

Убедимся в том, что

Решение.

(3.2.25)

так как и .

Подставляя числовые значения для и 1, 2, 3, в (3.2.25), получаем

(3.2.26)

С другой стороны,

(3.2.27)

где . Вычисляя коэффициент по (3.2.27), получаем

Аналогично

Таким образом,

что совпадает с результатом (3.2.26).