9.6. Дополнительные соображения

Выше было показано, что дисперсионный критерий дает возможность предсказать относительное качество различных преобразований при сжатии данных. В соответствии с дисперсионным критерием сохраняется множество коэффициентов преобразования, обладающих наибольшими дисперсиями, а остальные коэффициенты не учитываются. Такой подход может быть также объяснен с помощью функции степени искажения, связанной с базисно ограниченными (БО) преобразованиями. Понятие базисно ограниченного преобразования ввел Пирл [5, 6]. Такое преобразование (рис. 9.17) включает в себя преобразование Т, операцию Q (не обязательно линейную), определенную на множестве коэффициентов преобразования , и обратное преобразование .

Приведенная структура имеет очевидное ограничение, заключающееся в том, что Q действует на каждый коэффициент , отдельно. Например, при БО преобразование сводится к скалярной винеровской фильтрации, которая рассматривалась в § 8.4. Если же и , то БО преобразование соответствует модели сжатия данных, изображенной на рис. 9.10.

По существу функция степени искажения определяет минимум информации в битах, необходимый для такого кодирования коэффициента преобразования, при котором среднее искажение меньше или равно заданной величине D. Обычно стремятся распределить искажение по всем коэффициентам так, чтобы число бит на коэффициент (т. е. количество) было минимальным. Рассмотрим случай, когда коэффициенты преобразования имеют нормальное распределение, а искажение измеряется в соответствии с критерием среднеквадратичной ошибки. Тогда, как показано в [5—7], функция степени искажения определяется из выражения

Рис. 9.16. Примеры сжатия изображения:

а — оригинал; 8 бит на элемент изображения; б — ПКЛ; 2 бита на элемент изображения; в — ДКП; 2 бита на элемент изображения; г — пилообразное преобразование; 2 бита на элемент изображения; д — ДПФ; 2 бита на элемент изображения; е — ПУА, упорядоченное по Адамару; 2 бита на элемент изображения; — преобразование Хаара; 2 бита на элемент изображения

где R — минимальное количество бит на коэффициент преобразования; собственное значение, если Т представляет собой ПКЛ или диагональный элемент ковариационной матрицы в области преобразований , если Т представляет собой любое другое преобразование, и — параметр, удовлетворяющий равенству

(9.6.2)

На рис. 9.18 приведено несколько графиков функции степени искажения для марковского процесса первого порядка, ковариационная матрица которого определяется выражением (8.4.1) при и 0,9 [8]. Например, если допустимый уровень искажений равен 0,3, то необходимое для кодирования коэффициентов данного преобразования количество бит таково, что

Рис. 9.17. Базисно ограниченное преобразование

Приведенный выше результат можно интерпретировать качественно следующим образом: тождественное преобразование (ТП) сохраняет всю корреляцию в исходных данных; преобразование ДГТФ декоррелирует исходные данные, но не полностью;

Рис. 9.18. Зависимость искажения от параметра D при марковском процессе первого порядка: и

преобразование ПКЛ декоррелирует исходные данные полностью, а дискретное косинусное преобразование очень близко в этом отношении к ПКЛ. Таким образом, декорреляция с помощью преобразований приводит к значительно меньшим искажениям, чем непосредственное кодирование данных, состоящих из некоррелированных отсчетов.