8.3. Расчет фильтра

Без потери общности можно сделать следующие предположения.

1. Сигнал и шум имеют нулевые математические ожидания, т. е. , откуда следует, что

(8.3.1)

2. Сигнал и шум некоррелированны, т. е.

(8.3.2)

3. При следует, что [см. выражение (8.2.4)]

(8.3.3)

Определение матрицы фильтра. Так как является вектором оценки X, то соответствующий вектор ошибки определяется как

(8.3.4)

Таким образом, общая среднеквадратичная ошибка при оценивании равна

(8.3.5)

Из структурной схемы на рис. 8.1 следует, что

так как . Подстановка выражения (8.3.6) в выражение (8.3.5) дает

(8.3.7)

Поскольку и , выражение (8.3.7) можно записать как

(8.3.8)

Теперь матрица А должна быть выбрана такой, чтобы была минимальна. Следовательно, она должна удовлетворять необходимому условию , что приводит к

Из (8.1.3), (8.1.7) и (8.1.8) следует, что

Таким образом, выражение (8.3.9) можно привести к виду , из которого с учетом того, что , получаем

(8.3.10)

Учитывая, что , и пользуясь выражением (8.3.1), легко получаем следующие соотношения:

Подстановка (8.3.11) в выражение (8.3.10) дает

Уравнение (8.3.12) позволяет определить требуемую матрицу оптимального фильтра двумя способами.

1. Через ковариационные матрицы и , относящиеся к области исходных данных (сигналов):

(8.3.13)

что можно в упрощенном виде записать как

(8.3.14)

где . Матрица называется матрицей отклика [2] по аналогии с импульсным откликом линейной системы.

2. Через ковариационные матрицы и относящиеся к области изображений:

где .

Минимальная среднеквадратичная ошибка. Для вычисления среднеквадратичной ошибки, связанной с описанным выше оптимальным фильтром, удобно выразить из выражения (8.3.5) в виде

(8.3.16)

где — след матрицы, т. е. сумма диагональных элементов матрицы. Можно показать, что (см. задачу 8.4)

(8.3.17)

Из (8.3.16) получаем

(8.3.18)

Учитывая , можно показать, что (см. задачу 8.5)

(8.3.19)

Подставляя (8.3.19) в выражение (8.3.18) и пользуясь соотношением , получаем

(8.3.20)

Теперь выражение (8.3.14) для оптимального фильтра подставляем в выражение (8.3.20) вместо А, что приводит к следующему выражению для минимальной среднеквадратичной ошибки:

В (8.3.21) теперь полностью выражается через ковариационные матрицы и и, следовательно, может быть вычислена. Кроме того, Emin можно выразить через ковариационные матрицы и , соответствующие областям изображений в виде (см. задачу 8.7)

Из уравнений (8.3.21) и (8.3.22) можно сделать следующий вывод — минимальная среднеквадратичная ошибка не зависит от используемого ортогонального преобразования.