6.9. Физическая интерпретация энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару [13]

Энергетический спектр ПУА, упорядоченного по Адамару, имеет следующие физические интерпретации:

1) спектральные точки представляют собой средние энергии множества взаимно ортогональных подпоследовательностей;

2) каждая точка представляет собой энергетическое содержание группы частостей, а не одной частости, как в случае энергетического спектра ПУА с упорядочением по Уолшу.

Чтобы продемонстрировать первое толкование энергетического спектра, воспользуемся тем, что последовательность периода N можно представить в виде суммы (-периодической последовательности и последовательности т. е.

где

и .

После этого последовательность можно представить в виде -периодической последовательности и -косопериодической последовательности , т. е.

где

и .

Продолжая далее указанный выше процесс, получаем, что можно разложить в сумму следующих последовательностей:

(6.9.1)

где представляет собой -периодическую последовательность, а последовательность, .

Описанный выше процесс разложения иллюстрируется рис. 6.9 при . Последовательность разлагается в сумму

в которой является -периодической, представляют собой 1-, 2- и -периодическую последовательность соответственно.

Рис. 6.9. Граф, преображающий разложение на подпоследовательности,

Следовательно, эти последовательности можно представить в виде векторов:

(6.9.2)

где коэффициенты могут быть выражены через коэффициенты ПУА, упорядоченного по Уолшу.

Из рассмотрения векторов в записи (6.9.2) можно сделать вывод, что они все взаимно ортогональны и, следовательно,

(6.9.3)

где обозначает норму вектора. Кроме того,

(6.9.4)

Вспомним теперь, что средняя энергия записывается в

Подставляя выражение (4.9.4) в формулу (4.9.3), получаем

(6.9.5)

Чтобы связать коэффициенты с соответствующими коэффициентами , запишем ПУА с упорядочением по Адамару последовательности , в котором сама последовательность выражается в виде суммы подпоследовательностей. При этом получаем следующее матричное выражение:

(6.9.6)

Из выражения (6.9.6) следует, что

(6.9.7)

Так как и — ортогональные матрицы, то формулы (6.9.7) приводят к следующему результату:

Таким образом,

(6.9.8)

где -средняя мощность -периодической последовательности и - средние мощности последовательностей и , которые являются 1-, 2- и -косопериодическими соответственно.

Из приведенного выше анализа можно сделать следующие выводы:

1) представляют собой среднюю мощность Апериодической последовательности ;

2) представляет собой среднюю мощность -косопериодической последовательности .

Для иллюстрации второго физического толкования энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару рассмотрим как входят частости в энергетический спектр этого преобразования при . Из (6.8.8) имеем

(6.9.9)

Затем из табл. 6.3.1 находим

(6.9.10)

Если через обозначить частости, входящие в состав спектральной точки , то из (6.9.9) и (6.9.10) следует, что

(6.9.11)

Можно показать, что в общем случае выражение (6.9.11) будет иметь вид

(6.9.12)

Каждая спектральная точка представляет собой энергетическое содержание труппы частостей, а не одной единственной частости, как в случае энергетического спектра ПУА с упорядочением по Уолшу. Однако группирование частостей не является произвольным. Каждая группа состоит из основной частости и множества всех нечетных частостей относительно основной.

Связь со спектром ДПФ. Естественным следствием приведенного выше обсуждения является установление взаимосвязи между энергетическими спектрами ПУА с упорядочением по Адамару и ДПФ. Рассмотрим случай . Графы, соответствующие вычислению энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару и энергетического спектра ДПФ, приведены на рис. 6.10. Из графа БПФ следует, что

или

(6.9.13)

Так как матрица в выражении (6.9.13) ортогональна, то

(6.9.14)

При рассмотрении (6.8.10) можно сделать вывод, что правая часть выражения (6.9.14) равняется . Таким образом,

Подобным же образом получаем

Из приведенного выше анализа можно сделать следующий вывод: взаимосвязь между энергетическими спектрами ПУА, упорядоченным по Адамару, и ДПФ

Рис. 6.10. Графы, иллюстрирующие связь между спектрами мощности ПУА с упорядочением по Адамару и ДПФ

(6.9.15)

где -десятичное число, полученное в результате двоичной инверсии двоичного представления числа , представленного битами.

Фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару. Так же,

как энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару, можно определить и фазовый спектр ПУА или спектр «положения». Фазовый спектр определяется в многомерном пространстве с помощью эталонного вектора и понятий «средняя мощность» и «фазовый угол». Можно показать [14], что

(6.9.16)

где — фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару в точке. Для 8 выражение (6.9.16) дает

Определенный выше фазовый спектр можно быстро оценить совместно с энергетическим спектром с помощью графа, приведенного на рис. 6.11. Можно показать, что фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару инвариантен к умножению исходной последовательности на действительное число. Кроме того, он изменяется определенным образом (см. задачу 6.7) при циклическом сдвиге . Отсюда и название — спектр «положения». Ясно, что эти свойства аналогичны подобным же свойствам фазового спектра ДПФ. В отличие от фазового спектра ДПФ, каждая спектральная точка которого определяется по отношению к одной частоте, фазовый спектр ПУА, упорядоченного по Адамару, определяется по отношению к группе частостей. Группировка частостей в этом случае такая же, как и у энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару. Вследствие указанной группировки частостей и последующего сжатия данных исходная последовательность не может быть восстановлена по заданным энергетическому и фазовому спектрам ПУА с упорядочением по Адамару.