Главная > Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.9. Физическая интерпретация энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару [13]

Энергетический спектр ПУА, упорядоченного по Адамару, имеет следующие физические интерпретации:

1) спектральные точки представляют собой средние энергии множества взаимно ортогональных подпоследовательностей;

2) каждая точка представляет собой энергетическое содержание группы частостей, а не одной частости, как в случае энергетического спектра ПУА с упорядочением по Уолшу.

Чтобы продемонстрировать первое толкование энергетического спектра, воспользуемся тем, что последовательность периода N можно представить в виде суммы (-периодической последовательности и последовательности т. е.

где

и .

После этого последовательность можно представить в виде -периодической последовательности и -косопериодической последовательности , т. е.

где

и .

Продолжая далее указанный выше процесс, получаем, что можно разложить в сумму следующих последовательностей:

(6.9.1)

где представляет собой -периодическую последовательность, а последовательность, .

Описанный выше процесс разложения иллюстрируется рис. 6.9 при . Последовательность разлагается в сумму

в которой является -периодической, представляют собой 1-, 2- и -периодическую последовательность соответственно.

Рис. 6.9. Граф, преображающий разложение на подпоследовательности,

Следовательно, эти последовательности можно представить в виде векторов:

(6.9.2)

где коэффициенты могут быть выражены через коэффициенты ПУА, упорядоченного по Уолшу.

Из рассмотрения векторов в записи (6.9.2) можно сделать вывод, что они все взаимно ортогональны и, следовательно,

(6.9.3)

где обозначает норму вектора. Кроме того,

(6.9.4)

Вспомним теперь, что средняя энергия записывается в

Подставляя выражение (4.9.4) в формулу (4.9.3), получаем

(6.9.5)

Чтобы связать коэффициенты с соответствующими коэффициентами , запишем ПУА с упорядочением по Адамару последовательности , в котором сама последовательность выражается в виде суммы подпоследовательностей. При этом получаем следующее матричное выражение:

(6.9.6)

Из выражения (6.9.6) следует, что

(6.9.7)

Так как и ортогональные матрицы, то формулы (6.9.7) приводят к следующему результату:

Таким образом,

(6.9.8)

где -средняя мощность -периодической последовательности и - средние мощности последовательностей и , которые являются 1-, 2- и -косопериодическими соответственно.

Из приведенного выше анализа можно сделать следующие выводы:

1) представляют собой среднюю мощность Апериодической последовательности ;

2) представляет собой среднюю мощность -косопериодической последовательности .

Для иллюстрации второго физического толкования энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару рассмотрим как входят частости в энергетический спектр этого преобразования при . Из (6.8.8) имеем

(6.9.9)

Затем из табл. 6.3.1 находим

(6.9.10)

Если через обозначить частости, входящие в состав спектральной точки , то из (6.9.9) и (6.9.10) следует, что

(6.9.11)

Можно показать, что в общем случае выражение (6.9.11) будет иметь вид

(6.9.12)

Каждая спектральная точка представляет собой энергетическое содержание труппы частостей, а не одной единственной частости, как в случае энергетического спектра ПУА с упорядочением по Уолшу. Однако группирование частостей не является произвольным. Каждая группа состоит из основной частости и множества всех нечетных частостей относительно основной.

Связь со спектром ДПФ. Естественным следствием приведенного выше обсуждения является установление взаимосвязи между энергетическими спектрами ПУА с упорядочением по Адамару и ДПФ. Рассмотрим случай . Графы, соответствующие вычислению энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару и энергетического спектра ДПФ, приведены на рис. 6.10. Из графа БПФ следует, что

или

(6.9.13)

Так как матрица в выражении (6.9.13) ортогональна, то

(6.9.14)

При рассмотрении (6.8.10) можно сделать вывод, что правая часть выражения (6.9.14) равняется . Таким образом,

Подобным же образом получаем

Из приведенного выше анализа можно сделать следующий вывод: взаимосвязь между энергетическими спектрами ПУА, упорядоченным по Адамару, и ДПФ

Рис. 6.10. Графы, иллюстрирующие связь между спектрами мощности ПУА с упорядочением по Адамару и ДПФ

(6.9.15)

где -десятичное число, полученное в результате двоичной инверсии двоичного представления числа , представленного битами.

Фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару. Так же,

как энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару, можно определить и фазовый спектр ПУА или спектр «положения». Фазовый спектр определяется в многомерном пространстве с помощью эталонного вектора и понятий «средняя мощность» и «фазовый угол». Можно показать [14], что

(6.9.16)

где — фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару в точке. Для 8 выражение (6.9.16) дает

Определенный выше фазовый спектр можно быстро оценить совместно с энергетическим спектром с помощью графа, приведенного на рис. 6.11. Можно показать, что фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару инвариантен к умножению исходной последовательности на действительное число. Кроме того, он изменяется определенным образом (см. задачу 6.7) при циклическом сдвиге . Отсюда и название — спектр «положения». Ясно, что эти свойства аналогичны подобным же свойствам фазового спектра ДПФ. В отличие от фазового спектра ДПФ, каждая спектральная точка которого определяется по отношению к одной частоте, фазовый спектр ПУА, упорядоченного по Адамару, определяется по отношению к группе частостей. Группировка частостей в этом случае такая же, как и у энергетического спектра ПУА с упорядочением по Адамару. Вследствие указанной группировки частостей и последующего сжатия данных исходная последовательность не может быть восстановлена по заданным энергетическому и фазовому спектрам ПУА с упорядочением по Адамару.

1
Оглавление
email@scask.ru