ЗАДАЧИ

10.1. а) Средние образы, соответствующие множеству трехмерных обучающих образов, равны и . Найдите уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой, которая соединяет и и делит ее пополам.

Ответ. .

б) При решении некоторой задачи для трех классов получаем следующие дискриминантные функции:

Найдите уравнения для разделяющих границ и точку их пересечения.

Примечание. Точка пересечения получается в результате решения любых двух из трех уравнений для разделяющих границ.

10.2. Пусть и — две точки в -мерном пространстве. На рис. 10.27 эти точки показаны для случая .

Рис. 10.27

Рассмотрим гиперплоскость (при — прямая), перпендикулярную прямой, соединяющей и в точке , при которой

Докажите, что уравнение описанной выше гиперплоскости имеет вид

Примечание. Выберем точки X на искомой гиперплоскости (см. рис. 10.27) и заметим, что

10.3. Рассмотрим , где А — матрица размером — вектор и Y —вектор . Покажите, что эквивалентно

где предполагается невырожденной. В теории матриц называется обобщенной обратной, или псевдообратной по отношению к матрице А.

Примечание. Используйте следующие равенства:

10.4. Рассмотрите матричное уравнение

Три линейных уравнения, соответствующих описанному выше матричному уравнению, определяют на плоскости прямые и , изображенные на рис. 10.28. Из рис. 10.28 видно, что данные три прямые не пересекаются в одной точке, что означает отсутствие единственного решения. Другими словами, уравнение соответствует множеству несовместимых уравнений.

Пользуясь выражением , покажите, что решение в смысле наименьших квадратов для множества несовместимых уравнений, описанных , имеет вид .

10.5. Пусть g описывает цифровое устройство, отклик которого на воздействие обозначается через (рис. 10.29).

Рассмотрите четыре пары точек возбуждение-отклик , изображенные на рис. 10.30. Вычислите значения а и b, которые определяют такую прямую , что среднеквадратичная ошибка принимает наименьшее значение. Изобразите прямую на рис. 10.30.

Рис. 10.28.

Рис. 10.29.

Рис. 10.30.

Примечание. Среднеквадратичная ошибка в случае аппроксимации прямой определяется как

где а и b определяются как решения системы линейных уравнений, которая получается из и .

Ответ. .

10.6. Рассмотрите двумерные образы, приведенные на рис. 10.31. Запишите программу, реализующую распознавание образов для задачи трех классов по критерию наименьшего среднеквадратичного расстояния, и покажите, что:

а) матрица ошибок, полученная при классификации обучающего множества, имеет вид

б) разделяющие границы, соответствующие описанному классификатору, показаны на .

10.7. Рассмотрите двумерные образы, приведенные в табл. П10.7.1. Для каждого образца вычислите соответствующий квадратичный образ . Сделайте соответствующие изменения в программе, записанной для решения задачи 10.6, и с ее помощью покажите, что матрица ошибок, связанная с классификацией обучающего множества с помощью классификатора, работающего по критерию наименьшего среднеквадратичного расстояния, имеет вид

Рис. 10.31

Таблица П10.7.1