4.5. Численные примеры

Пример 4.5.1. Для заданной последовательности и вычислить коэффициенты ДПФ , используя БПФ.

Решение. Так, при используется граф БПФ, изображенный рис. 4.1, где , т. е. , , и .

В соответствии с последовательностью вычислений, обозначенных на графе, получаем:

Пример 4.5.2. Дана последовательность и .

а) Применить БПФ для вычисления коэффициентов ДПФ .

б) Подтвердить, что алгоритм БПФ можно применять для восстановления последовательности , по коэффициентам , полученным в п. "а" и используемым в качестве исходного массива данных.

Решение, а) В данном случае число итераций равно 2, так как . Вычисляем и получаем и . При используется множитель , а при — множители и . В соответствии с табл. 4.4.1 получаем:

Полученных данных достаточно для построения графа БПФ при (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Граф для примера 4.5.2

б) Как известно, ОДПФ определяется из выражения

На рис. 4.3 изображен соответствующий граф ОБПФ, в котором , так как в п. "а". Как видно из рис. 4.3, в результате получаем и , что соответствует последовательности , приведенной в п. "а".

Рис. 4.3. Граф для примера 4.5.2

Пример 4.5.3. Для заданной входной последовательности , построить граф БПФ при .

Решение. При получаем , что означает, что индекс итерации принимает значения 1, 2, 3, 4. Следовательно, надо вычислить множители , = 1, 2, 3, 4; , и записать их, как показано в табл. 4.5.1. Таблица 4.5.2, приведенная ниже, строится так же, как при .

Таблица 4.5.1

Рис. 4.4. Граф БПФ для примера 4.5.3

Таблица 4.5.2

Пример 4.5.4. а) Применив формулу , перейти от графа БПФ для , изображенного на рис. 4.4, к соответствующему графу БПФ, содержащему степени W.

б) Пользуясь результатами из п. "а", получить правила построения графа БПФ при , содержащего степени W, не применяя формулу (4.4.14а).

Рис. 4.5. Граф БПФ для примера 4.5.4

Решение, а) При имеем и, следовательно, формула дает , где . Заменяя в графе на рис. 4.4, получаем в соответствии с этим соотношением граф БПФ, показанный на рис. 4.5.

б) Рассмотрение графа БПФ, приведенного на рис. 4.5, показывает, что он может быть построен в соответствии со следующей процедурой:

Шаг 1: Выразить последовательность в виде (-разрядных двоичных последовательностей. В результате получаем множество .

Шаг 2. Произвести двоичную инверсию каждой (-разрядной последовательности множества для получения .

Шаг 3. Записать двоичную последовательность в виде десятичных чисел .

Шаг 4. Пользуясь , сформировать .

Шаг 5. Итерация состоит из групп, где . Элементы множества , полученные на четвертом шаге, приписываются этим группам следующим образом:

Описанная процедура не требует использования формулы и приводит к графу БПФ при , изображенному на рис. 4.5. Данную процедуру можно обобщить для любого (см. задачу 4.4).