6.6. Циклический и диадический сдвиги

Циклический сдвиг. Пусть вещественнозначная последовательность с периодом N. Рассмотрим последовательность , при которой

(6.6.1)

где [см. уравнение (3.2.3)] , . Например,

Так как индексы и понимаются в смысле сложения по модулю N, то говорят, что получается из в результате циклического сдвига на l позиций.

Пусть обозначает коэффициент ДПФ последовательности . Тогда из теоремы сдвига для ДПФ [см. формулу (3.2.4)] получаем

или (6.6.2)

Выражение (6.6.2) означает, что не зависит от l и, следовательно, инвариантно относительно циклических сдвигов .

Диадический сдвиг. Будем обозначать через последовательность, полученную из в результате диадического сдвига на :

(6.6.3)

где , , а обозначает сложение по модулю 2. В качестве примера диадического сдвига, связанного со сложением по модулю 2 в выражении (6.6.3), рассмотрим случай . Результаты приведены в табл. 6.6.1. Например, пользуясь данными этой таблицы, получаем

(6.6.4)

Так же как и в выражении (6.6.2), можно показать, что

(6.6.5)

где через и обозначен коэффициент ПУА с упорядочением по Адамару и ПУА с упорядочением по Уолшу соответственно. Из выражения (6.6.5) следует,

Таблица 6.6.1

что и не зависят от l и инвариантны относительно диадических сдвигов . Проиллюстрируем это утверждение для случая при .

Преобразование Уолша—Адамара, упорядоченное по Адамару, последовательности может быть получено в виде

(6.6.6)

где

и

Из формулы (6.6.4) следует, что

(6.6.7)

где

Подставляя выражение (6.6.7) в уравнение (6.6.6) и пользуясь соотношением , получаем

(6.6.8)

Матричное произведение называется преобразованием подобия, соответствующим ПУА с упорядочением по Адамару . Подставляя (см. рис. 5.7б) и оценивая получаем

Таким образом, является диагональной матрицей, и из выражения (6.6.8) следует, что , что означает

(6.6.9)

Таким образом, не зависит от l и, следовательно, инвариантно относительно диадических сдвигов . Диагональная форма преобразования подобия остается справедливой и при других значениях .

В заключение заметим, что выражение (6.6.9) также означает, что и инвариантно относительно диадических сдвигов , так как и однозначно связаны соотношением (6.4.4).