6.4. Преобразование Уолша—Адамара, упорядоченное по Уолшу
Из табл. 6.3.1 следует, что величины 
располагаются не в порядке возрастания, т. е. они не обладают следующим упорядочением частости:
коэффициент преобразования #: 0 1 2 3 4 5 6 7;
соответствующая частость: 0 1 1 2 2 3 3 4.
В некоторых случаях желательно, чтобы коэффициенты преобразования располагались в порядке возрастания частости. Ортогональное преобразование, которое обладает этим свойством, является преобразованием Уолша — Адамара, упорядоченное по Уолшу 
, или иначе, преобразование Уолша — Адамара с упорядочением по частости.
Матричное определение. Преобразования 
последовательности 
определяются как
(6.4.1)
где 
коэффициент 
, и
- матрица Адамара 
, упорядоченная по Уолшу. Так как матрица 
ортогональная и симметричная, то обратное преобразование 
записывается в виде
(6.4.2)
Пример 6.4.1. Пусть 
. Требуется найти 
.
Решение. Подставляя приведенную на рис. 5.5б матрицу 
в (6.4.1), получаем
В соответствии с приведенным выше матричным уравнением получаем
Из приведенного выше примера видно, что для вычисления коэффициента 
0, 1, 
, требуется 
сложений и вычитаний. В § 6.5 приведен алгоритм, позволяющий вычислить 
, за 
операций сложения и вычитания.
Определение в показательной форме. Так как элементы 
можно получить в соответствии с (5.4.4), то преобразование 
и обратное преобразование 
, могут быть также определены как
и
(6.4.3)
где
Обозначения 
и 
являются коэффициентами двоичного представления 
и 
и определяются по выражениям (6.2.9) и (6.2.10).
Соответствие между коэффициентами преобразований 
и 
устанавливается непосредственно. Из определений этих преобразований и из уравнения (6.3.7) следует, что
(6.4.4)
где 
-двоичная инверсия 
обозначает переход от кода Грея к двоичному коду 
. Например, при 
8 в соответствии с (6.4.4) получаем (см. табл. 6.3.1)
