ГЛАВА 3. Фурье-представление временных последовательностей

В предыдущей главе были рассмотрены вопросы Фурье-представления аналоговых сигналов. Такое представление теперь будет распространено на временные последовательности и цифровые сигналы. Для этого вводится понятие дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и доказывается несколько его свойств. В частности, формулируются теоремы свертки и корреляции и анализируются спектральные характеристики такие, как амплитудный и фазовый спектры и спектр мощности. На примере двумерного ДПФ показано, что ДПФ может быть распространен на многомерный случай. Наконец, вводятся понятия мгновенного спектра мощности и фазового спектра.

3.1. Определение дискретного преобразования Фурье

Если означает последовательность

конечных действительных или комплексных чисел, то дискретное [1] или конечное [2] преобразование Фурье этой последовательности определяется как

(3.1.1)

где . Экспоненциальные функции в (3.1.1) являются ортогональными, т. е. удовлетворяющими условию

Согласно выражению (3.1.1) имеем

(3.1.3)

Используя соотношение (3.1.2) в уравнении (3.1.3), получаем обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), которое определяется следующим образом:

(3.1.4)

Так как выражения (3.1.1) и (3.1.4) составляют пару преобразований, то представление временной последовательности через экспоненциальные функции является единственным.

Функции являются -периодическими, т. е.

(3.1.5)

Следовательно, последовательности и , определяемые выражениями (3.1.1) и (3.1.4), также являются периодическими. Иначе говоря, последовательности и удовлетворяют следующим условиям:

(3.1.6)

Пользуясь выражениями (3.1.5) и (3.1.6), можно показать, что

(3.1.7)

и

(3.1.8)

когда p и q удовлетворяют условию . Пару преобразований, определяемых выражениями (3.1.1) и (3.1.4), в соответствии с принятым соглашением [2] удобно обозначать как .