ЗАДАЧИ

1.1. Докажите, что при и где и

где чертой обозначены комплексно-сопряженные величины.

1 2. Пусть задано множество функций действительной переменной , определенных на интервале , таких, что

Рассмотрите разложение

а) Найдите формулу для вычисления коэффициентов разложения .

б)Покажите, что

1.3. Покажите, что при :

1.4. Множество ортонормированных комплекснозначных функций заданных на интервале (0, Т), определяется как

где комплексно-сопряженная с .

Рассмотрите разложение

где — действительный или комплексный сигнал.

а) Найдите формулу для вычисления коэффициентов разложения . Ответ.

б) Докажите, что теорема Парсеваля для такого представления функций комплексного переменного выражается следующим образом:

1.5. Полиномы Лежандра определяются с помощью следующей рекуррентной формулы:

где и . Эти полиномы ортогональны на интервале , т.е.

а) Найдите и

б) Докажите, что соотношение (31.5.1) справедливо для и .

Ответ.

1.6. Пусть . Рассмотрите аппроксимацию

где — полиномы Лежандра, введенные в задаче 1.5. Вычислите коэффициенты и .

Ответ.