3.2. Показать, что 
- 
-периодическая последовательность, где 
—постоянная величина, 
.
3.3. Коэффициенты ДПФ последовательности действительных чисел с пе-оиодом, равным 8, соответственно равны 
.
Найти значения коэффициентов 
.
3.4. Рассмотреть последовательность 
с периодом, равным 4. Прямое и обратное ДПФ этой последовательности определяются соответственно как
а) Записать выражение (З3.4.1) в матричной форме:
где 
— матрица размером 
.
б) Убедиться, что А является симметрической матрицей, т. е.
где штрихом обозначено транспонирование.
в) Убедиться, что если 
означает матрицу, элементами которой являются числа, комплексно-сопряженные с элементами матрицы 
, то
где I — единичная матрица размером 
.
Примечание. Можно показать, что свойства матрицы 
, (З3.4.3) и (З3.4.4), справедливы и в общем случае.
г) Пользуясь результатами пункта 
, найти матрицу 
, обратную матрице 
.
3.5. Заданы 
и 
. Учитывая, что 
, определить коэффициенты 
ДПФ, выражая их через коэффициенты 
.
Ответ. 
Примечание. Показать, что
где А определена в задаче 3.4, и
Произведение матриц 
называется преобразованием подобия, соответствующим матрице 
.
3.6. Показать, что для действительной последовательности 
определяемый (3.5.5) фазовый спектр ДПФ является нечетной относительно точки 
функцией, т. е.
3.7. Функция "растяжение" определяется следующим образом [2]:
Если 
, показать, что
а) растяжение 
;
б) растяжение 
.
3.8. Предположим, что последовательность 
выбирается в точках 0, 
, где 
— целое число. Тогда функция» определяется следующим образом [2]:
Выборка 
эта последовательность имеет период, равный 
. Теперь, если 
, то показать, что
3.9. Показать, что
является ортогональной матрицей и
3.10. Задана последовательность данных 
. Используя ДПФ, показать, что мгновенный спектр мощности этой последовательности определяется по данным следующей таблицы.
:
