1.3. Представление сигнала с помощью ортогональных функций [39]

Множество непрерывных функций действительного называется ортогональным на интервале , если

(1.3.1)

где через обозначается . При множество называется ортонормированным.

Предположим, что — действительный сигнал, заданный на интервале и представленный в виде ряда

где означает коэффициент разложения. Чтобы найти достаточно обе части (1.3.2) умножить на и проинтегрировать в пределах :

(1.3.3)

С учетом (1.3.1) получаем

(1.3.4)

Ортогональное множество , удовлетворяющее условию

(1.3.5)

называется полным или замкнутым, если справедливо любое из следующих утверждений:

1) не существует сигнала удовлетворяющего условию

(1.3.6)

такого, что

(1.3.7)

2) для любого кусочно-непрерывного сигнала удовлетворяющего условию при любом малом существует такое N и конечное разложение

(1.3.8)

при котором

(1.3.9)

Из приведенных выше рассуждений следует, что разложение по ортогональным функциям дает возможность представить в (1.3.2) в виде бесконечного, но множества чисел . Кроме того, когда является полным, такое представление возможно в виде конечного множества чисел .

Физический смысл. Возведя обе части выражения (1.3.2) в квадрат, получим

Интегрирование обеих частей выражения (1.3.10) приводит к следующему результату:

Применяя условие ортогональности функций, заданное выражением (1.3.1), к выражению (1.3.11), получаем соотношение

(1.3.12)

известное как теорема Парсеваля. Тогда, если есть напряжение или ток, приложенные к концам чисто резистивной нагрузки, равной 1 Ом, то левая часть выражения (1.3.12) представляет собой среднюю мощность, рассеиваемую резистором. Таким образом, множество чисел является распределением мощности в .

В заключение следует отметить, что рассмотренные выше методы представления сигналов с помощью ортогональных функций можно разделить на две основные группы: 1) состоит из синусоидальных функцийи 2) состоит из несинусоидальных функций, которые будут рассмотрены в процессе дальнейшего изложения.