ГЛАВА 2. Фурье-представление сигналов

В данной главе, во-первых, дается обзор методов Фурье — представления сигналов, а во-вторых, приводится обоснование систематического перехода от Фурье-представления аналоговых сигналов к Фурье-представлению дискретных сигналов.

2.1. Фурье-представление

В качестве иллюстрации общего метода ортогональных представлений, изложенного в § 1.3, рассмотрим случай, когда множество функций есть множество синусоидальных функций . Тогда разложение в ряд, соответствующее выражению (1.3.2), примет вид

(2.1.1)

где — основная угловая частота, которая связана с периодом Т с функции соотношением . Основная угловая частота в раз превышает основную частоту или . Частоты или называются гармониками, так как они кратны основным частотам и соответственно.

Предполагается, что кроме условия, заданного выражением удовлетворяет следующим условиям:

1) в пределах одного периода имеет по крайней мере конечное число разрывов;

2) в пределах одного периода имеет по крайней мере конечное число максимумов и минимумов.

Можно показать, что при выполнении этих условий множества коэффициентов и являются равномерно ограниченными. Иначе говоря, это означает, что ряд в (2.1.1) сходится равномерно на интервале (0, Т) и, следовательно, допускается почленное интегрирование. В точках разрыва функции имеет место сходимость в среднем. Коэффициенты в (2.1.1) можно вычислить с учетом свойства ортогональности множества функций на периоде Т:

(2.1.2)

Используя выражения (2.1.1) и (2.1.2), можно показать, что (задача 2.1)

и

(2.1.3)

Таким образом, из приведенных выше рассуждений следует, что сигнал можно представить множеством действительных чисел Чтобы установить связь этих коэффициентов с распределением мощности в необходимо иметь соотношение, соответствующее выражению (1.3.12), т. е. теорему Парсеваля. Можно показать, что (задача 2.2) теорема Парсеваля для представления, определяемого выражением (2.1.1), имеет вид

(2.1.4)

Согласно выражению (2.1.4) распределение мощности определяется множеством действительных чисел

Ряд Фурье в комплексной форме. В качестве другого примера рассмотрим случай, когда в выражении (1.3.2) задано множество комплексных функций . Принимая за исходное выражение

ряда Фурье в обычной форме и используя общепринятые тригонометрические преобразования, нетрудно получить ряд Фурье в комплексной форме. С учетом формул

и

где выражение (2.1.1) можно записать в следующем виде:

(2.1.7)

Введем коэффициент

(2.1.8)

Тогда из выражений (2.1.3) и (2.1.8) следует, что

или

(2.1.9)

причем

(2.1.10)

Подставляя выражения (2.1.8) и (2.1.10) в (2.1.7), получаем

(2.1.11)

Из выражений (2.1.3) и (2.1.9) вновь получим

(2.1.12)

Таким образом, из выражений (2.11) и (2.1.12) получаем окончательно

(2.1.13)

Выражение (2.1.13) соответствует представлению рядом Фурье в комплексной форме, т. е. в этом случае представляется множеством комплексных чисел .

Примечание. Из выражений (2.1.9) и (2.1.13) следует, что необходимо ввести множитель , либо при суммировании, или для получения симметрии выражений можно ввести множитель в каждую из рассмотренных операций.

С помощью соотношения

(2.1.14)

и выражения (2.1.13) можно показать, что (задача 2.3)

(2.1.15)

Соотношение (2.1.15) представляет собой теорему Парсеваля, связанную с представлением (2.1.13). Заметим, что выражения (2.1.4) и (2.1.15) будут идентичны, если и .

Из (2.1.15) следует, что распределение мощности в сигнале можно представить множеством действительных чисел

На рис. 2.1 дана геометрическая интерпретация комплексного числа или где

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Угол определяемый выражением (2.1.16), обычно называется фазовым углом. Однако в более широком смысле он отражает ориентацию комплексного вектора относительно некоторого опорного направления, в качестве которого выбирается действительная ось, как это показано на рис. 2.1.