5.4. Функции Уолша

В 1923 г. Уолш [8] получил полную систему прямоугольных функций, которая дополняет систему функций Радемахера и известна теперь как система функций Уолша. Множество функций Уолша обычно разделяется на три группы, порядком расположения отдельных функций в системе. Общеприняты следующие упорядочения: 1) упорядочение по частости (по Уолшу); 2) диадическое упорядочение (по Пэли); 3) естественное упорядочение (по Адамару). Ниже каждое из этих упорядочений рассмотрено отдельно.

Упорядочение по частости или по Уолшу. Это упорядочение предложено Уолшем [8]. Будем обозначать множество функций Уолша, упорядоченных таким образом через

где нижний индекс w обозначает упорядочение по Уолшу, a i соответствует -му элементу . Если через обозначить частость , то определяется как

Функции и , соответствующие , описываются следующим образом:

Первые восемь функций Уолша в указанных выше обозначениях приведены на рис. 5.5а, из которого видно, что частость следующей функции Уолша больше или равняется частости предыдущей функции Уолша и имеет точно на одно пересечение нулевого уровня больше в открытом интервале . Отсюда и следует название упорядочение по частости. Элемент можно получить из множества функций Радемахера при использовании кода Грея [9] (см. задачу 5.1).

Дискретный случай. Дискретизация функций Уолша, изображенных на рис. 5.5а, в восьми равноотстоящих точках приводит к матрице , показанной на рис. 5.5б. В общем случае получается матрица . Такие матрицы будем обозначать , так как они получаются в результате переупорядочения строк матриц Адамара.

Пусть и цифры -го разряда в двоичном представлении целых чисел и соответственно, т. е.

Тогда элементы матрицы имеют вид

(5.4.4)

где

Рис. 5.5. Функции Уолша, упорядоченные по Уолшу, при : а — непрерывные; б — дискретные

Диадическое упорядочение или упорядочение по Пэли. Диадическое упорядочение было введено Пэли [11]. Функции Уолша являются элементами диадической группы и могут быть упорядочены с помощью кода Грея [9, 12]. Данное множество функций Уолша обозначается как

(5.4.5)

где индекс обозначает упорядочение по Пэли, a i обозначает элемент . Множество связано с множеством , упорядоченным по Уолшу, соотношением

(5.4.6)

где — переход от кода Грея к двоичному коду с индексом Алгоритм преобразования, соответствующий (5.4.6), и его осуществление рассмотрены в [12]. Проиллюстрируем соотношение (5.4.6) на примере . Соответствующие результаты приведены в табл. 5.4.1. Применяя данные табл. 5.4.1 к функциям , , показанным на рис. 5.5а, получаем восемь функций Уолша , изображенных на рис. 5.6а.

Таблица 5.4.1. Соотношение между функциями Уолша, упорядоченными по Уолшу и упорядоченными по Пэли

Дискретный случай. Проводя дискретизацию функций Уолша (рис. 5.6а), получим матрицу , изображенную на рис. 5.6б.

Рис. 5.6. Функции Уолша, упорядоченные по Пэли при : а — непрерывные; б — дискретные

Эту матрицу также можно получить переупорядочением строк матрицы Адамара . Матрицы, связанные с функциями Уолша, упорядоченными по Пэли, будем обозначать . Элементы матрицы можно получить из следующей формулы:

(5.4.7)

Естественное упорядочение или упорядочение по Адамару.

Множество функций Уолша обозначается следующим образом:

где индекс h обозначает упорядочение по Адамару, i обозначает элемент . Функции, принадлежащие , связаны с функциями, упорядоченными по Уолшу, соотношением

где -инвертированная запись i, a - переход от кода Грея к двоичному коду . Проиллюстрируем этот переход, описываемый соотношением (5.4.9) для результаты расчета приведены в табл. 5.4.2.

Таблица 5.4.2. Соотношение между функциями Уолша, упорядоченными по Уолшу и упорядоченными по Адамару

Рис. 5.7. Функции Уолша, упорядоченные по Адамару при : а — непрерывные; б — дискретные

Используя данные табл. 5.4.2 и функции (см. рис. 5.5а), получаем первые восемь функций Уолша (рис. 5.7а).

случай. Дискретизация функций Уолша (см. рис. 5.7а) приводит к матрице Адамара , изображенной на рис. 5.7б. В общем случае получается матрица размером , где . Для этого класса матриц Адамара справедливо разбиение на подматрицы вида

Такие матрицы соответствуют естественному упорядочению [10]. Элементы матрицы можно получить из следующей формулы:

(5.4.11)