2.6. Теорема отсчетов

Если — сигнал длительностью L, то его -периодическое продолжение можно представить в виде ряда Фурье

(2.6.1)

где

Из выражения (2.6.1) следует, что для точного описания необходимо бесконечное число коэффициентов ряда . Поэтому в строгом математическом смысле не существует сигнала конечной длительности L, для которого

(2.6.2)

где N — некоторое конечное положительное число. Однако известно, что во всех реальных ситуациях передаточная функция любой физически реализуемой системы спадает до нуля «на очень высоких» частотах. Примерами таких систем являются механизмы речеобразования, слуха и зрения человека, различные системы связи. Поэтому можно предположить, что для достаточно больших N условие (2.6.2) выполняется. Сигналы такого типа называются ограниченными по полосе и имеют полосу, равную

По существу, теорема отсчетов утверждает, что сигнал с ограниченной полосой, равной В, Гц, может быть однозначно восстановлен по отсчетам, взятым с частотой отсчетов в секунду, где . Таким образом, эта теорема дает возможность оперировать с цифровым сигналом , соответствующим непрерывному сигналу . Ниже приводится доказательство теоремы отсчетов.

Теорема. Если — такой сигнал длительности L, что разложение в ряд Фурье его -периодического продолжения не содержит гармоник выше номера , то полностью определяется множеством значений

(2.6.3)

Кроме того, он может быть восстановлен по этим значениям следующим образом:

(2.6.4)

Доказательство. Представление рядом Фурье имеет вид

(2.6.5)

Подставляя в выражение (2.6.5), получаем

где . Умножая обе части выражения (2.6.6) на по и суммируя по k в пределах от 0 до N, получаем

(2.6.7)

Теперь можно показать, что множество функций является ортогональным, т. е.

Таким образом, из выражений (2.6.7) и (2.6.8) следует, что

т.е.

(2.6.9)

Из выражения (2.6.9) следует, что определяется N отсчетными значениями , взятыми согласно выражению (2.6.3). Подставляя выражение (2.6.9) в выражение (2.6.5), получаем

Так как , то из (2.6.10) вытекает

Пусть , тогда выражение можно переписать в следующем виде:

В выражении (2.6.11б)

(2.6.12)

Если теперь воспользоваться тригонометрическим тождеством

(2.6.13)

и подставить (2.6.12) и (2.6.13) в выражение (2.6.11б), то получим

Подставляя и в (2.6.14), получаем результат, который требовалось доказать:

На основании этого можно сделать следующие выводы.

1. Теорема отсчетов устанавливает минимальную частоту отсчетов, которая гарантирует сохранение всей информации, содержащейся в сигнале любая частота отсчетов выше минимальной также сохраняет информацию. Поскольку минимальное количество отсчетов на интервале времени L равно , то временной интервал между двумя соседними отсчетами должен удовлетворять условию

(2.6.15)

2. Так как — полоса сигнала, где — основная частота, то неравенство (2.6.15) можно записать в следующем виде:

(2.6.16)

3. Выражение (2.6.16) означает, что частота отсчетов должна удовлетворять условию , которое при принимает следующий вид: выборок в секунду (2.6.17).