6.12. Многомерные преобразования Уолша—Адамара с упорядочением по Адамару и по Уолшу

Ограничимся рассмотрением двумерного случая, который используется при обработке изображений. Обобщение для г-мерно-го случая может быть получено непосредственно. Определение двумерного ПУА с упорядочением по Адамару следует непосредственно из выражения (6.2.8):

(6.12.1)

где —входной массив, —коэффициент преобразования, . Выражения и представляют собой двоичные представления и соответственно, т. е. .

Входной массив можно однозначно восстановить, выполняя обратное двумерное ПУА с упорядочением по Адамару, которое определяется как

(6.12.2)

Входной массив данных может быть записан в виде матрицы размером :

(6.12.3)

В выражении (6.12.1) рассмотрим внутреннее суммирование, которое записывается как

(6.12.4)

В правой части приведенного выше выражения записано ПУА с упорядочением по Адамару каждого столбца матрицы входных данных . Введем следующее обозначение:

(6.12.5)

Коэффициенты можно записать в матричном виде

Подстановка (6.12.5) в (6.12.1) дает

что можно записать в следующем виде:

(6.12.7)

Выражение (6.12.7) означает, что коэффициенты можно получить, выполняя ПУА с упорядочением по Адамару для каждой строки в выражении (6.12.6). В результате получаем коэффициентов, которые в матричной форме записываются как

(6.12.8)

Приведенное выше рассмотрение позволяет сделать вывод, что двумерное ПУА с упорядочением по Адамару можно вычислить с помощью алгоритма одномерного БПУА с упорядочением по Адамару следующим образом:

i) при выполняется БПУА с упорядочением по Адамару для каждого из столбцов при получении из выражения (6.12.6);

ii) при выполняется БПУА с упорядочением по Адамару для каждой из строк при получении из выражения (6.12.8).

Таким образом, одномерный алгоритм БПУА с упорядочением по Адамару применяется раз.

Другой путь для вычисления двумерного ПУА с упорядочением по Адамару заключается в вычислении одномерного ПУА с упорядочением по Адамару при условии, что матрица входных .данных преобразуется в -вектор [см. задачу (6.8)]. Вычисление ПУА с упорядочением по Адамару и определение соответствующего энергетического спектра рассматриваются в [24], .

В заключение отметим, что двумерное ПУА с упорядочением это Адамару и обратное преобразование могут быть записаны в матричной форме:

(6.12.9)

Таким же образом можно показать, что матричная форма ПУА с упорядочением по Уолшу и его обратное преобразование при двумерном ПУА можно записать как

и

(6.12.10)

где

Из выражения (6.12.10) следует, что двумерное ПУА с упорядочением по Уолшу и обратное преобразование можно выполнить с помощью одномерного БПУА с упорядочением по Уолшу, которое применяется раз так же, как и в случае ПУА с упорядочением по Адамару.