ПРЕДИСЛОВИЕ

Физика в своем современном виде начиналась с нелинейных законов движения частиц. Это видно уже на примере задачи Кеплера, которая содержит типичные свойства нелинейных систем: периодические орбиты с большим числом гармоник и зависимость периода колебаний от амплитуды. А знаменитая проблема трех тел не только отразила наиболее общие особенности нелинейной динамики, но и позволила раскрыть такие ее сложные и трудноразрешимые свойства, как неинтегрируемость и появление малых знаменателей в рядах теории возмущений. Более того, стало ясно, что для типичных нелинейных ситуаций нельзя предсказать на сколь угодно большое время динамические свойства даже слабо возмущаемых систем. Сложившееся положение дел закрыло перед физиками возможность получить ответы на многие важные вопросы, среди которых достаточно упомянуть проблему «вечной» (т. е. неограниченной во времени) устойчивости динамических систем. Несмотря на многочисленные усилия в области анализа нелинейных систем, с создавшейся ситуацией пришлось мириться в течение многих лет, закрывая глаза на ограниченность, а в некоторых случаях и на возможную несостоятельность наших представлений о динамике того или иного физического процесса. Состояние нелинейного анализа усугублялось существованием значительно более сложных физических объектов—уравнений динамики сплошной среды, уравнений гравитации Эйнштейна и др. Своеобразной областью компенсации явились чисто линейные физические теории—теория электромагнитного поля и квантовая механика. Успехи, достигнутые здесь, в определенной степени ослабили внимание к «нелинейным» трудностям. Кроме того, методы квантовой теории удалось весьма удачно применить к многочисленным классическим задачам, используя линеаризацию исходных уравнений и построение удобных рядов теории возмущений для нелинейных задач на основе результатов линеаризации.

Понадобилось некоторое время для того, чтобы стало ясно, что старые проблемы остались на том же уровне и что их преодоление не связано с идеями линеаризации. Одновременно с этим все области физики начали приобретать свои собственные «нелинейные» проблемы. Появились нелинейная оптика, нелинейная акустика, нелинейная радиофизика. Но наиболее «богатой» относительно различных нелинейных проблем средой оказалась плазма. Сочетание задач, связанных с динамикой частиц, и задач, связанных с динамикой нелинейных сред в отсутствие столкновений, привело к возникновению своеобразной физической лаборатории, в которой оказалось возможным продемонстрировать реальный физический аналог практически любому физическому процессу из другой области физики. Достаточно назвать такие яркие аналогии, как адиабатические инварианты в механике и сохранение магнитного момента заряженной частицы в магнитной ловушке, волны на поверхности «мелкой воды» и магнитозвуковые волны в плазме, динамика твердого волчка и распадные неустойчивости волн.

Возможно, что именно особенности бесстолкновительной плазмы как нелинейной среды способствовали развитию новых и, в определенном смысле, неожиданных методов ее исследования. С одной стороны, это были методы, вводящие стохастический элемент в динамику среды за счет сложных

нелинейных взаимодействий при отсутствии явных случайных сил (квазилинейная теория, слабая турбулентность, многопотоковые неустойчивости и др.). С другой стороны, это были методы точного интегрирования сложных нелинейных уравнений.

Приблизительно в тот же период произошли радикальные изменения и в исследовании нелинейных систем строгими методами. Появилась универсальная техника приближенного усреднения нелинейных систем (метод Крылова — Боголюбова-Митропольского), была доказана теорема о сохранении инвариантов (теория Колмогорова-Арнольда-Мозера) и, наконец, возникло определение нового свойства нелинейных систем — динамическая энтропия Колмогорова-Синая. Эта энтропия, будучи новым инвариантом системы, отразила в количественной форме возможность нелинейных систем совершать движение с перемешиванием — свойство, которое еще ранее исследовалось в работах Е. Хопфа и Н. С. Крылова. Сейчас выяснилось, что перемешивание, или хаос, может возникать даже в системе с двумя степенями свободы и появление его или отсутствие зависит лишь от значений параметров или начальных условий задачи. Таким образом, в нелинейную динамику вошел качественно новый элемент движения, потребовавший пересмотра ряда более ранних приближенных результатов.

Развитию новых идей в понимании нелинейной динамики в значительной степени способствовало появление компьютеров. Их использование для анализа нелинейных систем было начато работами Э. Ферми и С. Улама и сейчас достигло такого уровня, что характер процесса трудно представить себе в полной мере без просмотра его на дисплее даже в тех случаях, где могут быть получены формальные результаты.

Благодаря всем перечисленным достижениям, а также многим другим результатам к настоящему времени стало формироваться некоторое общее представление о нелинейной динамике различных процессов независимо от той области физики, к которой они имеют отношение. Возникли общие физические понятия, обладающие универсальностью, и появилось некоторое подобие классификации типов решений в простейших физических ситуациях.

Эти соображения побудили авторов совершить попытку создать связное представление о физических особенностях современных нелинейных задач физики, рассчитанное на самого широкого читателя-физика. Учитывая огромное количество работ в этой области и отсутствие завершенных результатов во многих задачах, легко понять, что значительные трудности пришлись на отбор материала, который следует включить в книгу. Он весь «от маятника до турбулентности и хаоса» изложен примерно в едином неформальном стиле, использующем, главным образом, качественный анализ и физические оценки. Длинные выкладки занимают мало места и в большинстве своем приведены лишь в примерах. Содержание книги разбито на три части: I. Частицы; II. Волны; III. Примеры.

Содержание книги является естественным продолжением предыдущих монографий авторов (Арцимович Л. А. и Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков.-М.: Атомиздат, 1979; Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем.-М.: Наука, 1985).

Рукопись книги была прочитана М. И. Рабиновичем, И. Р. Сагдеевым и А. А. Черниковым, которые помогли устранить значительное число неточностей. Авторы выражают им искреннюю признательность.