§ 2. Нелинейная динамика лучей

Звуковые волны в океане и атмосфере и радиоволны в ионосфере могут распространяться на очень большие расстояния. Причина этого явления заключается в том, что в соответствующей среде существует немонотонная зависимость фазовой скорости волны от некоторой координаты (например, от глубины в океане). В результате возникает естественный волноводный канал, в котором распространяется волна. Зачастую реальные параметры среды таковы, что можно воспользоваться приближением геометрической оптики. Поэтому задача о распространении волн в естественных средах может быть сведена к соответствующей задаче о динамике лучей.

Существует также непосредственная связь между биллиардными задачами и траекториями лучей в волноводных каналах. Эта аналогия обусловлена тем приемом, который был использован выше. Он заключался в том, что задача о траектории частицы в биллиарде на рис. 14.2 была сведена

к задаче о движении на неограниченной развернутой «плиссированной» поверхности (рис. 14.4 или 14.5). Траектории в последнем случае полностью подобны траекториям лучей в волноводных каналах. Эта связь позволяет получить новую информацию в различных задачах о динамике лучей и, главное, обнаружить возникновение их стохастической неустойчивости, которая радикально изменяет все передающие характеристики волноводного канала [2, 3].

Уравнения траектории луча. Для описания траектории луча воспользуемся гамильтоновским формализмом. Пусть ось совпадает с осью волноводного канала, а координата есть Тогда координаты луча связаны гамильтоновскими уравнениями

с гамильтонианом

Точка обозначает дифференцирование по Эта переменная, таким образом, играет роль времени. Импульс равен

Параметр является показателем преломления. Выражения (2.2) и (2.3) показывают, что уравнения (2.1) эквивалентны уравнениям движения релятивистской частицы.

Записанные уравнения упрощаются, если показатель преломления слабо отличается от постоянного значения. Тогда можно написать

где соответствует регулярному (однородному по ) случаю, а возмущение ей учитывает влияние неоднородности. Величина -безразмерный параметр возмущения. Благодаря его малости можно записать в виде

где

Рис. 14.7. Траектория луча (справа от оси в вол повод ном канале и профиль показателя преломления (слева от оси х)

Гамильтониан определяет невозмущенные траектории луча. Система уравнений (2.1), (2.4) и (2.5) показывает, что мы пришли к обычной динамической задаче о влиянии нестационарного возмущения на частицу, совершающую финитные колебания, которые описываются гамильтонианом Роль времени играет переменная неоднородность вдоль которой эквивалентна нестационарности соответствующей динамической задачи.

Наиболее простым является плоский случай, когда не зависит от у. Уравнения (2.1) и (2.4), (2.5) переходят в следующие:

(см. рис. 14.7).

Опишем сначала невозмущенное движение луча. Пусть значение определяет соответствующие асимптотики при имеет простой вид горба с одним максимумом. Тогда гамильтониану соответствует движение в простой потенциальной яме. Финитным периодическим траекториям эквивалентной динамической системы соответствуют лучи, распространяющиеся в естественном волноводном канале. Далее можно говорить также о релятивистской частице, движение которой эквивалентно траектории луча.

Пусть - энергия эквивалентной частицы, соответствующая значению интеграла движения

Тогда из (2.6) следует, что на сепаратрисе

В области финитного движения

а в области инфинитного движения

Введем в области (2.8) переменные действие—угол по стандартным правилам. В этих переменных система (2.6) принимает канонический вид

Частота

характеризует число колебаний луча между стенками волноводного канала, приходящееся на единицу длины пути. Иными словами, есть пространственный период луча в волноводе.

Нелинейный пространственный резонанс. Представим сначала, что возмущение обладает пространственной периодичностью по Тогда можно записать разложение в ряд Фурье для потенциала возмущения:

где -пространственный период возмущения. Из этого уравнения видно, что возможны резонансы при выполнении условия

Фактически мы имеем дело с обычным нелинейным резонансом, который, однако, развивается не во времени, а в пространстве.

Приведем сразу результат для движения луча в окрестности одного изолированного резонанса. Пусть есть то значение для которого выполняется резонансное условие (2.11). Тогда ширина резонанса по действию равна

Отсюда также следует ширина резонанса по частоте

Физический смысл приведенных результатов в следующем. Траектория луча в отсутствие возмущения осциллирует с частотой . В окрестности резонансной частоты на это движение накладывается дополнительная модуляция луча по Амплитуда модуляции определяется выражениями (2.12), (2.13). Они же определяют и область локализации луча в плоскости Таким образом, вдоль траектории невозмущенного луча, соответствующего действию образуется дополнительный волноводный канал с эффективным размером Лучи, захваченные в этот канал, совершают в нем колебания относительно невозмущенной траектории с частотой Это приводит, в свою очередь, к периодической модуляции групповой скорости волнового поля.

Пример. Рассмотрим в качестве примера часто используемый солитоно-подобный профиль показателя преломления

где величина характеризует глубину соответствующей потенциальной ямы, а величина эффективную ширину. Подставим (2.14) в выражение (2.5) для Простые вычисления действия по формуле

дают

где сразу же следует выражение для нелинейной частоты

и частоты малых колебаний

Решения для х нелегко представляются как функции действия и фазы:

где обозначено

На сепаратрисе Поэтому параметр определяет расстояние по «энергии» до сепаратрисы.

Если имеется возмущение в виде периодических отклонений оси волновода от прямолинейной вдоль то в этом случае

где в качестве функции отклонений можнэ принять

Считая

разложим в ряд по и ограничимся первыми двумя членами:

Отсюда, используя обозначение (2.5), получаем

Выражение (2.16) связывает потенциал возмущения V с возмущением показателя преломления.

Условие резонанса (2.11) в данном случае принимает вид

так как импульс разлагается в ряд Фурье лишь по нечетным гармоникам. При больших расстояние между резонансами равно

Для ширины резонанса по действию и по частоте получаем из формул (2.12) и (2.13) при т. е. вблизи сепаратрисы:

Вблизи сепаратрисы резонансы должны перекрываться, образуя стохастический слой. Условие их перекрытия имеет вид

Это выражение" в явном виде дает

Отсюда может быть найдена граница стохастического слоя со по частоте. Она получается, если приравнять

Если начальное состояние луча таково, что его действие I лежит в области (2.18), то это значит, что его движение в пространстве вдоль носит диффузионный характер. Диффузия луча приводит к тому, что он достигает области вблизи невозмущенной сепаратрисы и «высвечивается» из волноводной области. Это показывает, что действие неоднородности как возмущения приводит к уменьшению эффективной ширины волноводного канала. В область стохастического слоя попадают моды колебаний поля с большими номерами. Поэтому излучение поля стохастического слоя означает также процесс фильтрации высоких мод в волноводном канале.

Рис. 14.8. Сечение волноводного канала, близкого к форме «стадион»

Двумерные сечения. Выше мы рассматривали очень упрощенную модель распространения луча в случае, когда показатель преломления зависит от одной переменной. В общем случае

и поэтому невозмущенному волноводному каналу всегда соответствует потенциал эквивалентной динамической системы зависящий от двух переменных. Это обстоятельство означает, что мы всегда имеем дело с системой из двух степеней свободы. Даже в том случае, когда отсутствует неоднородность вдоль потенциалы отличные от квадратичного, приводят к появлению областей резонансов и областей стохастичности. Достаточно даже упомянуть такой элементарный пример сечения волноводного канала, как тот, что изображен на рис. 14.8. Кривизна его боковых стенок

является реальным следствием двумерности. Траектория луча в таком канале полностью идентична траектории частицы в биллиарде типа изображенного на рис. 14.2. Это сразу же позволяет сделать вывод о том, что при определенных геометрических соотношениях в сечении волноводного канала его траектории стохастически блуждают вдоль оси волновода. При этом происходит потеря информации об изображении, которую несут лучи [4].