§ 2. Резонансное взаимодействие волн

Резонансное взаимодействие волн является первым нетривиальным процессом взаимодействия, который играет фундаментальную роль в нелинейной волновой теории. Он характеризуется двумя условиями. Пусть имеется совокупность взаимодействующих волн с волновыми числами и частотами Тогда при резонансе выполняются два равенства

где закон дисперсии волны. Первое из уравнений (2.1) — закон сохранения импульса, второе — закон сохранения энергии фотонов или фононов, или каких-либо других квазичастиц, которые представляют волны.

Распадные и нераспадные спектры. Условия (2.1) напоминают резонансы между различными степенями свободы в динамике частиц.

Рис. 9.1. Процессы распада и слияния трех волн

Рис. 9.2. Процессы рассеяния, слияния и распада четырех волн

Однако главное отличие волновых резонансов от резонансов, рассматривавшихся ранее для частиц, заключается в особой роли, которую играет закон дисперсии Остановимся на этом подробнее.

В рассматриваемых далее задачах основную роль будут играть частные случаи условий (2.1) для трехволновых и четырехволновых пррцессов. В первом из них

происходит распад волны на две волны или слияние двух волн в одну (рис. 9.1). Аналогично (2.2) можно записать законы сохранения для различных четырехволновых процессов (рис. 9.2):

Система уравнений (2.2) может быть рассмотрена как система уравнений относительно Она не всегда имеет решение. Это зависит от вида функции . В зависимости от того, существуют или нет решения уравнений (2.1), спектр волн называется распадным или нераспадным. Спектр волн может быть нераспадным относительно трехволновых взаимодействий, но распадным относительно четырехволновых взаимодействий; нераспадным в одномерном случае, но распадным в двумерном случае и т. д. На рис. 9.3 - приведены примеры нераспадных и распадных спектров в одномерном трехволновом процессе. Графический способ решения системы (2.2) в одномерном случае изображен на рис. 9.4.

Наиболее просто провести исследование волновых резонансов в случае волн малой амплитуды.

Уравнения для волн. Часто бывает удобно вместо непосредственного введения действия как это было сделано в формуле (1.36), ввести комплексные амплитуды Положим

Общая форма гамильтониана с точностью до членов четвертого порядка по а имеет вид

а канонические уравнения движения приобретают форму

Учитывая, что

замечаем, что в нелинейной части гамильтониана есть разные слагаемые, например такое:

Рассмотрим теперь гамильтониан трех волн для которых могут быть выполнены распадные условия (2.2). Имеем

Уравнения движения (2.6) в данном случае приводят к следующим выражениям:

Это — уравнения волнового триплета. Можно исключить из него члены, содержащие частоту.

Рис. 9.3. Примеры нераспадных (а) и распадных (б) спектров в одномерном трехволновом процессе

Рис. 9.4. Пример графического решения уравнения (2.2) в одномерном случае

Для этого достаточно сделать замену

после чего система (2.8) принимает совсем простой вид:

где

Для нее выполняется условие резонанса

где индекс для простоты опущен.

Эволюция волнового триплета. Еще одно переобозначение также окажется полезным (см. (1.36)):

Уравнения для этих переменных имеют вид

где обозначено

Отсюда, в частности, следуют законы сохранения:

Они позволяют записать точное решение системы (2.13), которую следует дополнить уравнением для фазы

Уравнение (2.16) сразу интегрируется и дает

Система (2.13) также легко интегрируется с помощью законов сохранения (2.15). В частности, имеем

где корни уравнения

В зависимости от вида начальных условий можно выделить два физически различных случая. Остановимся на них.

Без ограничения общности можно положить Действительно, из (2.17) видно, что это означает лишь определенный выбор начальной фазы Тогда при корни уравнения (2.19) равны

Рассмотрим теперь два варианта начальных условий. В первом из них

Соответствующие решения приведены на рис. 9.5. Чуть ниже мы поясним, что они обозначают. Здесь лишь заметим, что волновой триплет имеет сохраняющуюся полную энергию. Поэтому картина эволюции волн на рис. 9.5 указывает на характер периодической перекачки энергии между волнами.

Во втором варианте начального условия

Решения для этого случая приведены на рис. 9.6. Они также описывают периодическое перераспределение энергии между волнами, однако иного характера, чем в случае на рис. 9.5. Разберемся в том, что здесь происходит.

Рис. 9.5. Триплет с волной устойчивой по отношению к распаду

Рис. 9.6. Триплет с волной неустойчивой по отношению к распаду

Распадная неустойчивость. Для этого будем считать, что одна из волн имеет достаточно большую (конечную) амплитуду. Под этим подразумевается, что в первом приближении амплитуду этой волны можно считать не изменяющейся под действием двух других волн. Однако оставшиеся две волны участвуют во взаимодействующем триплете так, как если бы это были волны в нестационарной среде.

Положим, для определенности, сначала Система (2.10) превращается в следующую:

Отсюда

где

Это означает неустойчивость с инкрементом у, проявляющуюся в росте амплитуд волн Конечно, полученная неустойчивость отражает лишь начальную стадию динамического процесса. На его последующей стадии уже нельзя пользоваться соотношением и следует рассматривать полное решение системы (2.13). Этот случай приведен на рис. 9.6 и соответствует начальным условиям (2.21). Из рис. 9.6 видно, как медленно убывает амплитуда волны и нарастают на начальной стадии амплитуды двух других волн, на которые распадается волна . В этом и раскрывается содержание названия распадной неустойчивости, поскольку она сопровождается процессом (2.2).

Наоборот, в случае, когда, например, амплитуда волны имеем уравнения

которые описывают осцилляции с частотой Именно этот процесс изображен на рис. 9.5.

Различие в характере решений в зависимости от начальных условий имеет простую физическую интерпретацию. Условие распада волны (2.2) для частот может быть выполнено лишь только в том случае, когда распадающаяся волна имеет частоту больше, чем частоты волн на которые происходит распад (ком. 3).

Аналогия с параметрическим резонансом. Распадные неустойчивости могут быть описаны двумя альтернативными способами, которые просто отражают двойственный характер волновых процессов, близких к линейным волнам. С одной стороны, можно использовать аналогию волн с квазичастицами подобно тому, как это делалось до сих пор и как это отражено в законах сохранения (2.2) и на рис. 9.1. С другой стороны, мы можем обратиться к языку теории колебаний и воспользоваться аналогией с параметрическим резонансом и уравнением Матье. Остановимся подробнее на этой второй возможности.

Очевидным обобщением уравнения Матье на случай волновой среды могло бы служить, например, уравнение

Подобно тому как в уравнении Матье модулируется собственная частота осциллятора, в уравнении (2.26) модулируется скорость распространения волны с. Слагаемое с линейным оператором учитывает отклонение закона дисперсии от линейного Например, можно положить

Вообще говоря, коэффициенты в члене также могут модулироваться.

Покажем теперь, как распадная неустойчивость может быть описана в качестве неустойчивости при параметрическом резонансе. Для этого разложим у в ряд Фурье:

и перепишем (2.26) в виде

где

закон дисперсии волн в том случае, когда параметры в (например, не модулируются.

Теперь мы должны в выражении (2.27) оставить в правой части лишь тот член, который может привести к резонансу. Заметим, что в процессе взаимодействия участвуют три волны с волновыми числами Зафиксируем знак в и пусть Пусть также частоты волн равны соответственно и Зафиксируем условие резонанса в виде

Тогда из (2.27) следует, если оставить только резонансное слагаемое в правой части:

Аналогично из (2.26) можно получить уравнение для волны с волновым числом

Итак, задача свелась к двум взаимодействующим осцилляторам в условиях параметрического возбуждения их с частотой Отыскивая решение системы (2.28) и (2.29) в форме

получаем систему

Условие ее разрешимости в пренебрежении членами в скобках в (2.30) дает

и неустойчивость имеет место, если т.е. если Это — уже известный нам результат. Теперь, однако, мы сумели до конца проследить аналогию распадной и параметрической неустойчивости.

Распад плазмона. Первым теоретически предсказанным и детально исследованным типом параметрической распадной неустойчивости в плазме явилась неустойчивость электронной ленгмюровской волны [11, 21]. Она соответствует распаду плазмона на плазмон и фонон.

Основной нелинейный эффект, приводящий к связи плазменных и звуковых колебаний, — это модуляция плотности плазмы низкочастотной звуковой волной.

Естественной физической величиной, характеризующей ленгмюровские колебания, является электрическое поле колебаний . В линейной теории уравнение для монохроматической волны плазменных (ленгмюровских) колебаний сводится к хорошо известному дисперсионному соотношению:

В присутствии звуковой волны происходит модуляция плотности плазмы. Поэтому в слагаемом появляется нелинейный член, пропорциональный (Член при этом не зависит от плотности ) С учетом этого слагаемого плазменная волна уже не является более монохроматической. В ней появляются новые гармоники на биениях ленгмюровской и звуковой волн. Соответствующее уравнение легко получается из (2.32), если заменить в нем

В результате получаем

Уравнение для модуляции плотности плазмы при медленных ее движениях имеет вид [21]

где с — скорость ионного звука, -масса ионов и член с возникает как давление высокочастотного поля

Далее полагаем по уже изложенной выше схеме

где - поле накачки плазмонов, имеющее конечную амплитуду, а -поле рождающихся плазмонов в результате неустойчивссти. Отсюда получаем

систему уравнений, аналогичную (2.30):

где частоты и относятся к плазмонам, а частота фонону. В результате аналогично (2.31) находим

Условие, при котором существует распадная неустойчивость, заключается в том, что один из плазмонов распадается на плазмон меньшей частоты и фонон. Поскольку для плазмонов

то условие распада имеет вид

где Отсюда получаем, что параметрическая неустойчивость распада плазмона на звук возможна только для не слишком длинноволновых плазмонов:

Эти результаты получили подтверждение в лабораторном эксперименте [22] (см. также их обсуждение и обзор других возможных ситуаций распадной неустойчивости в [13,21]).