§ 2. Интегрируемые уравнения

Уравнение КдВ не является единственным точно интегрируемым уравнением. Существует несколько других, часто встречающихся в физике уравнений, обладающих аналогичными свойствами: интегрируемостью методом существованием -пары, бесконечным числом интегралов движения, -солитонными решениями. Укажем кратко на некоторые из них.

1. Нелинейное уравнение Шредингера

возникает, в частности, при анализе распространения узких волновых пакетов. Мы познакомимся с его получением несколько позже. Его интегрирование изложено в Соответствующие -пары имеют вид матриц

2. Уравнение синус-Гордона

уже знакомо нам. Простая замена переменных

приводит (2.2) к виду

Обзор различных результатов по (2.2) имеется в [3, 4].

3. Цепочка Тода, которая также уже упоминалась:

где -константы и

есть расстояние между соседними атомами цепочки. Если цепочка состоит из атомов, то ставятся циклические граничные условия:

При произвольном существует столько же первых интегралов, находящихся в инволюции. Уравнение (2.4) также относится к числу точно интегрируемых [9].

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 12

(см. скан)