§ 4. Заряженные частицы в магнитном поле

Динамика частиц в магнитном поле относится к числу классических задач. Интерес к проблеме сохранения адиабатического инварианта в немалой степени стимулировался попытками ответить на вопрос о возможности удержания частиц в магнитных ловушках. Магнитные ловушки существуют в радиационных поясах и создаются в лабораториях. Движение заряженных частиц в магнитных полях различных конфигураций приводит к одной из наиболее типичных задач для приложения метода усреднения, который называется здесь дрейфовым приближением (ком. 12).

Дрейфовое приближение. Частица в магнитном поле движется под действием силы Лоренца:

Если поле постоянно, то траектории частиц имеют вид спирали (рис. 2.17). Скорость частиц вдоль сохраняется, а в перпендикулярной к плоскости происходит вращение с так называемой ларморовской частотой

Пусть направлено вдоль Что произойдет с траекторией частицы, если поле слабо неоднородно, скажем, в направлении т. е. Простые соображения показывают, что траектория частицы как целое начнет смещаться вдоль оси у. Для этого рассмотрим плоскость и пусть для

наглядности магнитное поле при равно а при равно Само магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка. Траектория частицы в плоскости будет состоять из двух полуокружностей, причем справа ларморовский радиус будет меньше, чем слева:

Вследствие неравенства (4.2) траектория частицы не замыкается и возникает следующий виток. При каждом обороте частица описывает петлю и передвигается на некоторое расстояние вдоль оси у. После нескольких оборотов становится ясно, что траектория частицы в плоскости представляет собой дорожку, сплетенную из петель и удлиняющуюся в направлении у. Это и есть дрейф частицы.

Рис. 2.17. Движение под действием силы Лоренца

Рис. 2.18. Причина появления дрейфа в неоднородном поле

Теперь становится очевидным, что для того чтобы описать дрейф, вовсе не обязательно выписывать все петли траектории. Достаточно описать только усредненное по ларморовскому вращению движение. Эта процедура эквивалентна тому, что мы следим только за движением центра ларморовского кружка. В этом усреднении и заключается суть дрейфового приближения, а малым параметром задачи является условие слабой неоднородности магнитного поля:

Точное выписывание усредненных уравнений очень громоздко. Изберем более наглядный путь. Смещение центра кружка с координатой у происходит на величину А у с частотой Поэтому сила, приводящая к этому смещению, равна

С другой стороны, из (4.2) следует

Отсюда

или

где введен магнитный момент

Сама дрейфовая скорость направлена вдоль вектора т. е. согласно (4.4)

где координата ларморовского центра в плоскости

Аналогично можно описать дрейф частицы, если имеется неоднородность магнитного поля вдоль оси (рис. 2.19). При искривлении силовой линии частица продолжает двигаться по спирали, которая теперь слабо изогнута, повторяя ход силовой линии. Изгибание приводит к появлению центробежной силы, которая тоже равна силе

Адиабатические инварианты. Слабая неоднородность магнитного поля порождает мало изменяющиеся адиабатические инварианты. Новое для нас здесь то, что раньше адиабатические инварианты возникали при слабой зависимости параметров системы от времени. Теперь время заменяется пространственной координатой. Эти замены, с точки зрения условия медленности изменения параметров, эквивалентны, так как для силовых полей

ивременной и пространственные градиенты связаны линейно.

Пусть для определенности частица движется в системе, называемой магнитной ловушкой (рис. 2.20), и пусть она аксиально-симметрична относительно

Динамика частицы характеризуется двумя степенями свободы: колебаниями перпендикулярно оси т. е. ларморовским вращением, и колебаниями вдоль

Рис. 2.19. Дрейф из-за продольной неоднородности магнитного поля

Рис. 2.20, Магнитная ловушка

Рис. 2.21. Поперечный дрейф в магнитной ловушке

Эти движения разделяются. Поэтому для действий можно записать просто

Для ларморовского вращения

где -фаза вращения. Отсюда

т. е. магнитный моментт (4.5) является адиабатическим инвариантом и сохраняется. Его можно записать по-другому:

что означает сохранение магнитного потока через ларморовский кружок.

Второе действие связано с продольными колебаниями частицы из-за отражения от магнитных зеркал, запирающих ловушку:

где компонента импульса вдоль z и интеграл берется между точками отражения от магнитных зеркал (точками поворота).

Сила Лоренца (4.1) сохраняет полную энергию частицы. Поэтому

Из соотношений (4.8) и (4.9) видно, что

Отсюда

и легко вычисляется при заданной функции

Иногда можно говорить и о третьем адиабатическом инварианте, порождаемом финитным дрейфюм поперек силовой линии магнитного поля. В магнитной ловушке на рис. 2.21 траектория частицы дрейфует вдоль магнитного пояска. Всеми аналогичными свойствами может обладать движение электронов и протонов в радиационных поясах Земли (рис. 2.22). В этом случае электроны дрейфуют с запада на восток, а ионы — в обратном направлении (ком. 13).

Рис. 2.22. Движение частицы в магнитном поле Земли