Глава 17. ВОЗМУЩЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КЕПЛЕРА

Задача Кеплера является одной из классических задач современной физики. Существует много аспектов этой задачи, объединяющих совершенно различные физические объекты. Это связано в значительной степени с тем, что кулоновский закон взаимодействия присущ столь разным по масштабу системам, как атом водорода и гравитирующие массы Вселенной. В различных реальных физических задачах, как правило, имеется возмущение, которое накладывается на основное движение в кулоновском поле. В этой главе мы рассмотрим несколько таких примеров, которые связаны как с воздействием лазерного поля на атом водорода, так и с некоторыми астрофизическими проблемами.

§ 1. Нелинейная динамика в кулоновском поле

Этот параграф является вспомогательным. Его цель — рассмотреть некоторые свойства движения частицы в кулоновском поле как нелинейной динамической системы.

Параметры движения. Гамильтониан движения в сферических координатах имеет вид [1]:

где

и константа взаимодействия с полем принимает положительные значения в случае притяжения частицы и отрицательные значения в случае отталкивания частицы.

Отсутствие явной зависимости гамильтониана (1.1) от и от приводит к существованию двух интегралов движения орбитального момента

и его проекции на ось перпендикулярной плоскости орбиты частицы:

Эти два инварианта совместно с полной энергией

позволяют точно проинтегрировать задачу Кеплера (1.1) в квадратурах.

То же самое обстоятельство сводит уравнения движения частицы к уравнению для одной степени свободы:

которое легко интегрируется и позволяет записать решение в следующем параметрическом виде (например, в случае эллиптических орбит при

Здесь введены три новые константы движения: большая полуось эллиптической орбиты

эксцентриситет орбиты

и частота движения по орбите

Ближайшая к силовому центру точка—перигелий—имеет согласно (1.7) координату

а наиболее удаленная — афелий — имеет координату

При частица движется по гиперболе, огибающей силовой центр Если то движение происходит по параболе

Уже из решения (1.7) видно, что динамика в кулоновском поле является нелинейной. Для получения более полной картины перейдем к уже привычному для нас рассмотрению, введя переменные действие—угод (ком. 1).

Переменные действие — угол. Опуская соответствующие выкладки, приведем сразу конечный результат для действий, определяемых по формуле

Результат интегрирования равен:

Удобно совершить каноническое преобразование и ввести новые действия:

Им соответствуют три фазы: . Гамильтониан (1.1) теперь принимает вид

явно указывающий на двойное вырождение, так как отсутствует зависимость от двух действий . По этой причине динамика частицы определяется лишь одной частотой

которая совпадает с . В этом можно убедиться, используя выражение (1.13) для и (1.8) для а.

Еще одно представление для со может быть полезно, если обратиться к (1.14) и положить

То обстоятельство, что частота обращения со зависит от действия, определяет нелинейный характер динамики частицы. Более полную информацию о движении можно получить, анализируя фурье-спектры координат частицы (ком. 2).

Спектральные свойства. Разложим координатные зависимости от времени в ряды Фурье. Кроме параметрической формы решения (1.7) воспользуемся также уравнением эллиптической орбиты

где X — полярный угол в плоскости траектории. Отсюда и из (1.7) получаем

или для фурье-разложений этих координат

Для фурье-компонент имеем

где -функции Бесселя и штрих означает дифференцирование по аргументу.

Сильно вытянутым орбитам соответствуют значения эксцентриситета, близкие к единице, т. е.

Рассмотрим спектр (1.20) именно в этом случае, который в дальнейшем будет для нас важен. Будем также считать значения Тогда имеет место асимптотика

где К функция Бесселя мнимого аргумента. Определим число

Если использовать соотношения (1.8) и (1.9), то выражение для можно представить также в виде

где введено максимально возможное значение орбитального момента

Смысл параметра легко понять из разложений формулы (1.22). При имеем

При

Таким образом, число определяет эффективную границу спектра. При приближении к границе финитного движения При этом действие согласно (1.23) и (1.24), число также стремится к бесконечности. Это означает, что по мере приближения к параболической траектории из-за вытягивания орбиты ее спектр расширяется, стремясь к бесконечности, как

Нам пригодятся также следующие формулы разложения в ряд Фурье:

Для коэффициентов нзходим

т. е. спектр величин (1.28) также экспоненциально обрезается при

Полученные нами общие характеристики динамики частицы в задаче Кеплера демонстрируют многие черты, аналогичные нелинейным динамическим системам, совершающим финитное движение. Здесь также имеется нелинейная зависимость частоты от действия, причем нелинейность всегда отлична от нуля. Интересной особенностью задачи Кеплера является то, что независимо от степени близости к сепаратрисе, отделяющей финитное движение от инфинитного безразмерный параметр нелинейности равен константе:

Однако в задаче Кеплера число степеней свободы равно трем, и их роль в создании нелинейного движения различна. Хотя зависимость частоты от действия определяется только энергией частицы, число гармоник в спектре зависит от орбитального момента Это создает сильную связь между величинами По мере приближения к сепаратрисе следовательно, стремится к бесконечности и (см. формулу (1.25)). Отсюда согласно (1.24) происходит увеличение эффективного числа гармоник в спектре. Таким образом, приближение к сепаратрисе приводит к нарастанию гармоник в спектре за счет вытягивания орбит, хотя нелинейность частоты при этом остается неизменной.