§ 2. Проблема Ферми — Паста-Улама (ФПУ)

Эта проблема является одной из первых попыток убедиться в справедливости применения законов статистической механики к нелинейной системе с достаточно большим числом степеней свободы . В первой работе [3] это число достигало значения 64 и, конечно, было достаточно велико. Несмотря на значительное время, которое прошло с тех пор, и на значительное число публикаций, посвященное проблеме ФПУ, некоторые вопросы, связанные с ней, остаются неясными и заслуживают внимательного к ним отношения.

Уравнения и предпосылки. Рассмотрим колеблющийся континуум — нелинейную струну. Приближенно этот континуум может быть заменен конечным числом колеблющихся осцилляторов. Запишем уравнения для движения осцилляторов в виде

где смещение осцилляторов удовлетворяет граничному условию цикличности

Системе (2.1) прйближенно соответствует уравнение колебаний струны:

где и -шаг цепочки, который в дальнейшем полагается равным единице.

Допустим, что создана некоторая простая конфигурация струны, соответствующая возбуждению одной или нескольких низших мод струны. Если ожидать статистическое поведение системы, то ее термализация означает передачу энергии из возбужденных мод во все остальные. Возбуждение новых гармоник должно происходить таким образом, чтобы энергии каждой из них были в среднем близки друг к другу. Это соответствует закону равнораспределения энергии по степеням свободы. Те же рассуждения можно перенести на цепочку осцилляторов (2.1). Взаимодействие гармоник или осцилляторов осуществляется благодаря нелинейным членам в (2.1) и (2.2).

Известно, что авторы работы [3] провели первые численные эксперименты в начале 50-х годов с моделью (2.1) и термализацию состояний не получили. Вместо этого энергия, которая изначально содержалась в некоторых гармониках, очень слабо передавалась в ближайшие соседние гармоники и совсем не распространялась в далекие от возбужденных гармоники. Более краткая формулировка результата: вместо термализации имело место квазипериодическое движение. В дальнейшем квазипериодичность была получена еще в ряде работ. Возникшие противоречия между исходными рассуждениями о необходимости перемешивания между гармониками и результатами численного анализа получили название проблемы ФПУ. После работы Крускала и Забуского [6] проблема ФПУ дала толчок к развитию теории совсем по другому направлению — создание методов точного интегрирования некоторых нелинейных задач (ком. 2).

О переходе «дискретность — непрерывность». Следует заметить, что всякий реальный численный анализ всегда обращен к решению конечно-разностной задачи, которая может быть представлена в данном случае системой (2.1) с достаточно большим Поэтому мы оказываемся перед необходимостью ответа, по крайней мере, на два очень трудных вопроса: что мы теряем, переходя от уравнения струны (2.2) к системе осцилляторов (2.1) и что мы приобретаем нового при этом переходе. Сравнительно долго было трудно даже представить себе, на каком пути следует искать ответы. Сейчас положение изменилось, и мы при анализе дискретных цепочек в третьей

части приведем некоторые результаты, объясняющие, что происходит при переходе от дискретного к непрерывному случаю. Здесь мы сделаем лишь некоторые предварительные замечания, указывающие путь, на котором следует искать различие. Рассмотрим, например, уравнение

где значения параметра К произвольны. Уравнение (2.3) решается в квадратурах и не содержит никаких неожиданностей. Заменим (2.3) конечно-разностным уравнением

где — интервал разбиения временной оси и

Уравнения (2.4) содержат стохастические траектории. Мы уже с ними встречались для стандартного отображения. Избежать таких решений в системе (2.4) нельзя, даже если Это становится очевидным, если совершить точный переход от (2.4) к дифференциальному уравнению движения. Вместо (2.3) имеем

Тот член в сумме в (2.5), который соответствует приводит к уравнению (2.3). Все остальные члены - «лишние». Они приобретаются из-за использования конечно-разностной схемы (2.4), и их роль легко оценить. Рассмотрим, например, первые гармоники в (2.5) с Мы уже знаем, что обусловленное ими возмущение разрушает сепаратрису системы (2.3) и образует в ее окрестности стохастический слой. Его ширина пропорциональна и определяет в фазовом пространстве область, где происходит движение с перемешиванием при любых

Неадекватность перехода к конечно-разностному описанию становится еще более ощутимой при увеличении числа степеней свободы. В общем случае дискретизация уравнений даже при малых значениях всегда приводит к появлению малых областей стохастичности которые принципиально изменяют характер решений. Это обстоятельство всегда следует иметь в виду. Оно определяет минимальную степень качественных отличий, возникающих при замене непрерывной задачи дискретной.

При анализе проблемы ФПУ мы будем обращаться к системе (2.1), описывающей конечное число осцилляторов (ком. 3).

Оценка области стохастичности. Введем нормальные координаты с помощью соотношений

Они удовлетворяют уравнениям движения

где -матричный элемент, вид которого легко устанавливается, и мы его для простоты выписывать не будем, а нормальные частоты осцилляторов равны

Система связанных осцилляторов (2.7) уже знакома нам. Параметр характеризует взаимодействие осцилляторов и далее полагается малым.

В нулевом приближении

где — амплитуды колебаний, а — частоты

Здесь - поправка к частоте за счет энгармонизма колебаний. Подстановка (2.9) в (2.7) дает первое приближение

Отсюда видно, что в системе (2.11) могут возникать резонансы при условиях

Определим ширину резонанса. Для этого подставим (2.9) в (2.11) и удержим лишь старшие члены. Это дает уравнение для амплитуд

В этой формуле зафиксируем какой-либо резонансный член и оставим только его. Например, пусть это будет член, в котором резонанс (2.12) выполняется при Тогда

Предположим далее, что ширина резонанса определяется амплитудой Это означает, что ширина резонанса по частоте равна

Та же величина определяет и расстройку резонанса. Поэтому интегрирование (2.13) по времени с учетом (2.9), (2.10) и (2.14) дает

Отсюда

Формула (2.15) выражает ширину изолированного резонанса.

Положение ближайших резонансов определяется структурой спектра. Расстояние между ними равно

Отсюда условие возникновения стохастичности может быть записано как условие перекрытия резонансов

Его можно также переписать в другом виде. Для этого введем безразмерный параметр нелинейного возмущения, который согласно (2.1), (2.6) и (2.7) равен

где - полная энергия колебаний цепочки. Если -некоторый средний иомер возбужденных мод и то условие (2.16) с помощью (2.17) можно

гереписать в виде

Это означает, что для возникновения достаточно сильного хаоса следует возбуждать достаточно широкие пакеты гармоник с большими значениями

Конечно, способ получения границы стохастичности, использующий неравенство (2.16), является достаточно грубым. Он, в частности, не дает возможности отделить точно интегрируемые задачи от тех, в которых возникает стохастичность. Иными словами, он ничем не выделяет особые (интегрируемые) случаи. Это и естественно, так как все упрощения, которые были сделаны, для того чтобы получить конечный ответ в очень сложной задаче, рассчитаны на типичные ситуации. Именно к таким случаям и относятся неинтегрируемые модели с числом степеней свободы

Как уже отмечалось, более конкретное замечание об условиях возникновения хаоса в цепочках будет сделано в специальном разделе.